Considere os vetores
V1=(c -1 1 1 0 ), V2=(l 0 1 2 1 ), V3=(l 0 1 0 1 ) e V4=(c 0 2 1 -1 )
Escreva o vetor U=(l2 5 3 4) como uma soma U=U1+U2, onde
  1. U1 é combinação linear de V1 e V2, e
  2. U2 é ortogonal a V1 e V2 simultaneamente.

Passo 1

O enunciado pede decompor U=(2,5,3,4)^T como soma U= U1+ U2, onde U1 deve pertencer ao subespaço gerado por V1 e V2 e U2 deve ser ortogonal a ambos. O conteúdo aqui é projeção ortogonal de U sobre spanV1,V2.

Passo 2

Suponha U1=a,V1 + b,V2. Para que U2= U- U1 seja ortogonal a V1 e V2, devemos ter
( U - (a,V1+b,V2))cdot Vi = 0 para i=1,2

Passo 3

Calculamos os produtos internos necessários:
V1cdot V1 = (-1)^2+1^2+1^2+0^2 = 3,
V1cdot V2 = (-1)cdot0 +1cdot1 +1cdot2 +0cdot1 = 3,
V2cdot V2 = 0^2+1^2+2^2+1^2 = 6,
Ucdot V1 = 2(-1)+5(1)+3(1)+4(0) = 6,
Ucdot V2 = 2(0)+5(1)+3(2)+4(1) = 15

Passo 4

As condições ortogonais viram o sistema
6 -3a -3b = 0, 15 -3a -6b = 0,
ou seja,
a + b = 2, a + 2b = 5
Resolvendo, obtemos b=3 e a=-1.

Passo 5

Substituindo em U1 e calculando U2, temos
U1 = -1,V1 + 3,V2 = 1253,
U2 = U - U1 = 2534 - 1253 = 13-21

Resposta

U1=1253, U2=13-21

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