Considere os vetores do espaço vetorial R^3 abaixo
v1=(1,1,0) v2=(0,0,1) v3=(-2,2,1)
Verifique se o vetor
v=(pi, epsilon, raiz2)
pertence ao conjunto [v1, v2, v3].

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
v=(pi,epsilon,raiz2)
pertence ao subespaço gerado por
v1=(1,1,0), v2=(0,0,1), v3=(-2,2,1)
Isto é, queremos saber se existem escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha,v1+beta,v2+gamma,v3=v
O conteúdo aqui é combinação linear em R^3.

Passo 2

Escrevendo explicitamente a combinação linear, temos
alpha,(1,1,0)+beta,(0,0,1)+gamma,(-2,2,1)=(pi,epsilon,raiz2),
o que gera o sistema de equações
alpha - 2gamma = pi, alpha + 2gamma = epsilon, beta + gamma = raiz2

Passo 3

Para encontrar alpha e gamma, somamos a primeira e a segunda equação:
(alpha-2gamma)+(alpha+2gamma)=pi+epsilon Longrightarrow 2alpha=pi+epsilon Longrightarrow alpha=pi+epsilon2
Subtraindo a primeira da segunda:
(alpha+2gamma)-(alpha-2gamma)=epsilon-pi Longrightarrow 4gamma=epsilon-pi Longrightarrow gamma=epsilon-pi4

Passo 4

Com o valor de gamma em mãos, tiramos beta da terceira equação:
beta=raiz2-gamma =raiz2-epsilon-pi4

Passo 5

Como encontramos alpha,beta,gammainR que satisfazem o sistema, existe combinação linear que gera v. Logo,
vinl[v1,v2,v3r]

Resposta

Sim. Uma possível escolha de coeficientes é
alpha=pi+epsilon2, beta=raiz2-epsilon-pi4, gamma=epsilon-pi4

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