Verifique se os conjuntos abaixo são linearmente independentes.
a) , onde
b) , onde
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar se os conjuntos em dois contextos distintos são linearmente independentes.
a) em (há três vetores em coordenas triplas)
b) em (espaço dos polinômios de grau )
Para isso, vamos montar combinações lineares nulas e ver se a única solução é trivial.
Passo 2
Para (a) consideramos escalares tais que
Como
isso gera o sistema
Passo 3
Do terceiro equação temos gamma=beta.
Da segunda: 2alpha+2gamma=0impliesalpha+gamma=0impliesalpha=-gamma=-beta.
Substituindo na primeira: -beta+2beta-beta=0 dá 0=0, logo não impõe restrição extra.
Portanto há soluções não triviais (por exemplo beta=1,alpha=-1,gamma=1), e o conjunto é linearmente dependente.
Passo 4
Para (b) tomamos escalares a,b,c em
acdot1 + bcdot x + cl(x^2-tfrac13r)=0
como polinômio nulo. Isso equivale a
c,x^2 + b,x + l(a-tfracc3r)=0
para todo x, de onde as igualdades de coeficientes
c=0, b=0, a-tfracc3=0
Passo 5
Da primeira c=0. Da segunda b=0. Então a terceira dá a=0.
Só existe a solução trivial a=b=c=0, logo o conjunto é linearmente independente.
Resposta
a) X é linearmente dependente.
b) X é linearmente independente.