Verifique se os conjuntos abaixo são linearmente independentes.
a) X=v1, v2, v3 subset R^2, onde
v1=(1,2,0), v2=(2,0,-1), v3=(-1,2,1)
b) X=v1, v2, v3 subset P2, onde
v1=1, v2=x, v3=x^2-13

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se os conjuntos
X=v1,v2,v3 em dois contextos distintos são linearmente independentes.
a) em R^3 (há três vetores em coordenas triplas)
b) em P2 (espaço dos polinômios de grau <=2)
Para isso, vamos montar combinações lineares nulas e ver se a única solução é trivial.

Passo 2

Para (a) consideramos escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha v1+beta v2+gamma v3=(0,0,0)
Como
v1=(1,2,0), v2=(2,0,-1), v3=(-1,2,1),
isso gera o sistema
alpha+2beta-gamma=0, 2alpha+0beta+2gamma=0, 0alpha-beta+gamma=0

Passo 3

Do terceiro equação temos gamma=beta.
Da segunda: 2alpha+2gamma=0impliesalpha+gamma=0impliesalpha=-gamma=-beta.
Substituindo na primeira: -beta+2beta-beta=0 0=0, logo não impõe restrição extra.
Portanto há soluções não triviais (por exemplo beta=1,alpha=-1,gamma=1), e o conjunto é linearmente dependente.

Passo 4

Para (b) tomamos escalares a,b,c em
acdot1 + bcdot x + cl(x^2-tfrac13r)=0
como polinômio nulo. Isso equivale a
c,x^2 + b,x + l(a-tfracc3r)=0
para todo x, de onde as igualdades de coeficientes
c=0, b=0, a-tfracc3=0

Passo 5

Da primeira c=0. Da segunda b=0. Então a terceira dá a=0.
Só existe a solução trivial a=b=c=0, logo o conjunto é linearmente independente.

Resposta

a) X é linearmente dependente.
b) X é linearmente independente.

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