Considere os vetores A=(rr1 & 1 0 & -1), B=(rr1 & 1 -1 & 0), C=(rr1 & -1 0 & 0), do espaço vetorial M2 times 2(R). Faça o que se pede:
Que conjunto de M2 times 2(R) pode ser escrito como combinação linear de A, B e C?

Passo 1

O enunciado dá três matrizes em M2times2(R):
A=1&10&-1, B=1&1-1&0, C=1&-10&0,
e pede o conjunto de todas as matrizes que podem ser escritas como combinação linear de A,B,C. O conteúdo aqui é o conceito de <span>span</span> ou subespaço gerado por vetores em um espaço vetorial.

Passo 2

Considere uma combinação geral
X = xA + yB + zC, x,y,zinR
Calculando termo a termo,
X = x1&10&-1 +y1&1-1&0 +z1&-10&0 = x+y+z & x+y-z -y & -x

Passo 3

Denote a matriz genérica de por
Para que existam tais que
Dessas quatro equações obtemos

Passo 4

Substituindo em b=x+y-z vem a condição
b = (-d)+(-c) - (a+d+c) = -a -2c -2d,
ou seja
a + b + 2c + 2d = 0
Logo só é possível representar M como combinação de A,B,C se e só se essa relação for satisfeita.

Resposta

O subespaço gerado por é

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