Dada a hipérbole de equação 9 x^2-4 y^2=1, determine:
a) A medida dos eixos real e imaginário
b) A distância focal
c) A excentricidade

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole de equação
9x^2 - 4y^2 = 1
e pede: a) as medidas dos eixos real (transversal) e imaginário (conjugado), b) a distância focal e c) a excentricidade. Para isso vamos reescrever a equação na forma padrão
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
e usar as fórmulas
2a, 2b, c^2=a^2+b^2, e=ca

Passo 2

Dividindo ambos os lados de 9x^2-4y^2=1 por 1 e reorganizando, obtemos
x^2tfrac19 ;-;y^2tfrac14 =1
Daí identificamos
a^2 = tfrac19, b^2 = tfrac14

Passo 3

As metades dos eixos são a e b. Logo as medidas totais são
eixo real (transversal) = 2a = 2raiztfrac19 = tfrac23,
eixo imaginário (conjugado) = 2b = 2raiztfrac14 = 1 á

Passo 4

A distância de cada vértice ao foco é
c = raiza^2+b^2 = raiztfrac19 + tfrac14 = raiztfrac4+936 = raiz136
Assim, a distância total entre os dois focos é
2c = raiz133

Passo 5

A excentricidade é
e = ca = tfracraiz136tfrac13 = raiz132

Resposta

a) eixo real = tfrac23, eixo imaginário =1.
b) distância focal =2c=tfracraiz133.
c) excentricidade e=tfracraiz132.

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