Sejam
e
subespaços de
dados por
e
Determine
, a soma é direta?
Determine
Passo 1
O enunciado trata de dois subespaços de
:
Queremos descrever
e verificar se a soma é direta.
Passo 2
Para achar
, note que em
a condição é
.
Logo um polinômio genérico de é
Logo um polinômio genérico de
com parâmetros livres
. Portanto
Por exemplo, uma base de
é
Passo 3
Para
, a condição é
.
Um polinômio genérico de é
Um polinômio genérico de
com parâmetros livres
. Logo
Uma base conveniente de
é
Passo 4
Vamos achar
. Um polinômio está em
se satisfaz simultaneamente
Substituindo
na segunda, vem
Logo
é o conjunto dos polinômios
com parâmetros
. Assim
Passo 5
Usando a fórmula das dimensões,
Como
, segue que
Para a soma ser direta precisaríamos ter
, mas
. Portanto a soma não é direta.
Resposta
A soma não é direta.