Sejam U e W subespaços de P3(R) dados por U=a x^3+b x^2+c x+d in P3(R) ; a=b-c e W=a x^3+b x^2+c x+d in P3(R) ; d=a+b+c
Determine U+W, a soma é direta?

Passo 1

O enunciado trata de dois subespaços de P3(R):
U = la x^3+b x^2+c x+d : a = b - cr,
W = la x^3+b x^2+c x+d : d = a + b + cr
Queremos descrever U+W e verificar se a soma é direta.

Passo 2

Para achar dim U, note que em U a condição é a=b-c.
Logo um polinômio genérico de U é
(b-c)x^3 + b x^2 + c x + d,
com parâmetros livres b,c,d. Portanto
dim U = 3
Por exemplo, uma base de U é
,x^3+x^2,;-x^3+x,;1

Passo 3

Para dim W, a condição é d=a+b+c.
Um polinômio genérico de W é
a(x^3+1) + b(x^2+1) + c(x+1),
com parâmetros livres a,b,c. Logo
dim W = 3
Uma base conveniente de W é
,x^3+1,;x^2+1,;x+1

Passo 4

Vamos achar Ucap W. Um polinômio está em Ucap W se satisfaz simultaneamente
a = b-c, d = a+b+c
Substituindo a=b-c na segunda, vem
d = (b-c) + b + c = 2b
Logo Ucap W é o conjunto dos polinômios
(b-c)x^3 + b x^2 + c x + 2b,
com parâmetros b,c. Assim
dim(Ucap W) = 2

Passo 5

Usando a fórmula das dimensões,
dim(U+W) = dim U + dim W - dim(Ucap W) = 3 + 3 - 2 = 4
Como dimP3(R)=4, segue que
U+W = P3(R)
Para a soma ser direta precisaríamos ter Ucap W=0, mas dim(Ucap W)=2>0. Portanto a soma não é direta.

Resposta

U+W = P3(R).
A soma não é direta.

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