Dados 2 a=20 e 2 c=16 de uma elipse centrada na origem e eixo maior coincidindo com o eixo 0 x , determine:
a) A equação da elipse
b) O comprimento do eixo menor
c) A excentricidade

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma elipse centrada na origem com o eixo maior no eixo x . Nos deram 2a = 20 e 2c = 16 . Vamos precisar entender a equação da elipse, como achar o comprimento do eixo menor e calcular a excentricidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores de a e c . Sabemos que:
2a = 20 implies a = 202 = 10
2c = 16 implies c = 162 = 8

Passo 3

Agora, para achar o valor de b (semi-eixo menor), usamos a relação entre os eixos e a distância focal na elipse:
c^2 = a^2 - b^2
Substituindo os valores que temos:
8^2 = 10^2 - b^2 implies 64 = 100 - b^2 implies b^2 = 100 - 64 = 36 implies b = raiz36 = 6

Passo 4

Com a e b encontrados, podemos montar a equação da elipse. A fórmula padrão da elipse centrada na origem com eixo maior no x é:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Substituindo a = 10 e b = 6 :
x^2100 + y^236 = 1

Passo 5

Para encontrar o comprimento do eixo menor, usamos a fórmula 2b :
2b = 2 times 6 = 12
Então, o comprimento do eixo menor é 12 unidades.

Passo 6

A excentricidade ( e ) da elipse mede o quanto ela é alongada e é calculada por:
e = ca
Substituindo os valores:
e = 810 = 0,8

Resposta

a) A equação da elipse é x^2100 + y^236 = 1 .
b) O comprimento do eixo menor é 12 unidades.
c) A excentricidade é 0,8.

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