Considere os vetores A=(rr1 & 1 0 & -1), B=(rr1 & 1 -1 & 0), C=(rr1 & -1 0 & 0), do espaço vetorial M2 times 2(R). Faça o que se pede:
Escreva E2=(rr2 & 1 -1 & -2) como combinação linear de A, B e C.

Passo 1

O enunciado nos dá três matrizes em M2times 2(R):
A = 1 & 1[6pt]0 & -1, B = 1 & 1[6pt]-1 & 0, C = 1 & -1[6pt]0 & 0,
e pede para escrever
E2 = 2 & 1[6pt]-1 & -2
como combinação linear de A, B e C. O conteúdo é montar a equação
xA + yB + zC = E2
e achar os escalares x,y,z.]

Passo 2

Escrevemos a combinação geral e somamos termo a termo:
xA + yB + zC = x1 & 10 & -1 + y1 & 1-1 & 0 + z1 & -10 & 0
Somando as três:
xA + yB + zC = x+y+z & x+y - z[4pt] -,y & -,x ]

Passo 3

Comparando com
E2 = 2 & 1[3pt]-1 & -2,
obtemos o sistema
x + y + z = 2,[4pt] x + y - z = 1,[4pt] -,y = -1,[4pt] -,x = -2 ]

Passo 4

Das duas últimas equações vem imediatamente
y = 1, x = 2
Substituindo em x+y+z = 2
2 + 1 + z = 2 Longrightarrow z = -1
Mas se colocamos esses valores em x+y - z = 1, temos
2 + 1 - (-1) = 4 neq 1,
ou seja, há uma contradição.

Passo 5

Como o sistema de quatro equações para três incógnitas é inconsistente, não existem escalares x,y,z tais que xA + yB + zC = E2. Em outras palavras, E2 não pertence ao subespaço gerado por A,B,C.

Resposta

Não é possível expressar E2 como combinação linear de A, B e C.

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