Sejam U e W subespaços de P3(R) dados por U=a x^3+b x^2+c x+d in P3(R) ; a=b-c e W=a x^3+b x^2+c x+d in P3(R) ; d=a+b+c
Determine U cap W.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar Ucap W, onde
U e W são subespaços de P3(R) definidos por condições lineares sobre os coeficientes de um polinômio
p(x)=a x^3+b x^2+c x+d
O conteúdo aqui é interseção de subespaços e resolução de sistema linear para as coordenadas (a,b,c,d).

Passo 2

Escrevemos um polinômio genérico
p(x)=a x^3+b x^2+c x+d
e impomos as condições que definem U e W:
  • Em U vale a=b-c.
  • Em W vale d=a+b+c.

Passo 3

Da condição de U temos
a = b - c
Substituímos isso na condição de W:
d = a + b + c = (b - c) + b + c = 2b

Passo 4

Portanto, em Ucap W todo polinômio tem forma
p(x) = (b-c)x^3 ;+; b,x^2;+; c,x ;+; 2b,
onde b e c são parâmetros livres em R.

Passo 5

Reconhecendo que b e c podem gerar o espaço por combinação linear, escolhemos:
  • Para b=1, c=0: p1(x)=x^3+x^2+2.
  • Para b=0, c=1: p2(x)=-x^3+x.
Assim
Ucap W=span,x^3+x^2+2,;-x^3+x

Resposta

Ucap W=l(b-c)x^3+b,x^2+c,x+2b : b,cinRr =span,x^3+x^2+2,;-x^3+x

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