Determine as equações que caracterizam os seguintes subespaços, se possível.
Verifique se Wi é um subespaço próprio de Vi.
a) V1=R^2, W1=[(2,-2),(-1,1)]
b) V2=R^3, W2=[(1,0,1),(-1,0,-1),(1,2,1)]
c) V3=R^3, W3=[(1,-1,0),(0,1,0),(0,0,1)]
d) V4=M2(R), W4=[(ll1 & 2 0 & 1),(ll0 & 3 0 & 1),(ll0 & 0 2 & 0)]
e) V5=P2(R), W5=[t^2, t+1, t]
f) V6=M2(R), W6=[(ll1 & 0 0 & 0),(ll0 & 1 0 & 0),(cc0 & 0 -1 & 0),(cc0 & 0 0 & -1)]
g) V7=P3(R), W7=[t^3, t^2, t, 1] h) V8=R^4, W=[(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)]

Passo 1

O enunciado dá vários espaços vetoriais Vi e subespaços Wi gerados por certos vetores, matrizes ou polinômios. Em cada caso queremos:
  1. Escrever Wi como solução de equações lineares (isto é, encontrar as equações que todo vin Wi satisfaz).
  2. Verificar se Wi é subespaço próprio de Vi (isto é, se dim Wi<dim Vi).

Passo 2

Para
Note que , logo . Um vetor genérico em é
Portanto
Como , é subespaço próprio de .

Passo 3

Para
Observamos que , de modo que bases independentes são e , dando . Escrevendo
vem
Logo
Como , é subespaço próprio de .

Passo 4

Para
Os três vetores são independentes, então . Logo , não há equação não–trivial e não é subespaço próprio.

Passo 5

Para
Escrevendo
temos
Eliminando obtém-se
Portanto
Como , é subespaço próprio de .

Passo 6

Para
Como , vemos que , logo . Assim , não há equação não–trivial e não é subespaço próprio.

Passo 7

Para
Estes quatro coincidem com a base canônica (até sinal), logo . Assim , não há equação não–trivial e não é subespaço próprio.

Passo 8

Para
Gera toda a base canônica de , logo . Portanto , sem equação e não é subespaço próprio.

Passo 9

Para
fica , , sem equação não–trivial e não é subespaço próprio.

Resposta

a) , sim é próprio.
b) , sim é próprio.
c) (nenhuma equação não–trivial), não é próprio.
d) , sim é próprio.
e) (nenhuma equação), não é próprio.
f) (nenhuma equação), não é próprio.
g) (nenhuma equação), não é próprio.
h) (nenhuma equação), não é próprio.

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