Determine as equações que caracterizam os seguintes subespaços, se possível.
Verifique se é um subespaço próprio de .
a)
b)
c)
d)
e) V5=P2(R), W5=[t^2, t+1, t]
f) V6=M2(R), W6=[(ll1 & 0 0 & 0),(ll0 & 1 0 & 0),(cc0 & 0 -1 & 0),(cc0 & 0 0 & -1)]
g) V7=P3(R), W7=[t^3, t^2, t, 1] h) V8=R^4, W=[(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)]
Passo 1
O enunciado dá vários espaços vetoriais Vi e subespaços Wi gerados por certos vetores, matrizes ou polinômios. Em cada caso queremos:
Escrever Wi como solução de equações lineares (isto é, encontrar as equações que todo vin Wi satisfaz).
Verificar se Wi é subespaço próprio de Vi (isto é, se dim Wi<dim Vi).
Passo 2
Para
Note que , logo . Um vetor genérico em é
Portanto
Como , é subespaço próprio de .
Passo 3
Para
Observamos que , de modo que bases independentes são e , dando . Escrevendo
vem
Logo
Como , é subespaço próprio de .
Passo 4
Para
Os três vetores são independentes, então . Logo , não há equação não–trivial e não é subespaço próprio.
Passo 5
Para
Escrevendo
temos
Eliminando obtém-se
Portanto
Como , é subespaço próprio de .
Passo 6
Para
Como , vemos que , logo . Assim , não há equação não–trivial e não é subespaço próprio.
Passo 7
Para
Estes quatro coincidem com a base canônica (até sinal), logo . Assim , não há equação não–trivial e não é subespaço próprio.
Passo 8
Para
Gera toda a base canônica de , logo . Portanto , sem equação e não é subespaço próprio.
Passo 9
Para
fica , , sem equação não–trivial e não é subespaço próprio.
Resposta
a) , sim é próprio.
b) , sim é próprio.
c) (nenhuma equação não–trivial), não é próprio.
d) , sim é próprio.
e) (nenhuma equação), não é próprio.
f) (nenhuma equação), não é próprio.
g) (nenhuma equação), não é próprio.
h) (nenhuma equação), não é próprio.