Provar que V=[lll0 & 0 & a 0 & b & 0 c & 0 & 0] / a, b, c in R é um espaço vetorial com as operaçōes definidas em R^3 times 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente provar que o conjunto V , formado por matrizes 3x3 do tipo
0 & 0 & a 0 & b & 0 c & 0 & 0
onde a, b, c são números reais, é um espaço vetorial.
Para isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e verificar se V satisfaz todas as propriedades necessárias. Basicamente, vamos checar se, ao somar duas matrizes desse tipo ou multiplicar por um escalar, a gente continua dentro de V .

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o conjunto V contém a matriz zero, que é uma exigência para qualquer espaço vetorial. A matriz zero em R^3 times 3 é:
0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Para estar em V , precisamos que existam valores a, b, c que façam com que nossa matriz seja igual à matriz zero. Claro que se colocarmos a = 0 , b = 0 e c = 0 , a matriz fica:
0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Então, a matriz zero está em V .

Passo 3

Agora, vamos verificar se V é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas matrizes de V e somarmos, o resultado também deve estar em V .
Vamos chamar duas matrizes quaisquer de V :
A = 0 & 0 & a 0 & b & 0 c & 0 & 0 , B = 0 & 0 & d 0 & e & 0 f & 0 & 0
Somando A + B :
A + B = 0 + 0 & 0 + 0 & a + d 0 + 0 & b + e & 0 + 0 c + f & 0 + 0 & 0 + 0 = 0 & 0 & a + d 0 & b + e & 0 c + f & 0 & 0
A matriz resultante é do mesmo formato que as matrizes em V , com novos valores a + d , b + e e c + f que ainda são números reais. Portanto, A + B está em V .

Passo 4

Por último, vamos ver se V é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos qualquer matriz de V por um número real, o resultado também deve estar em V .
Pegamos uma matriz qualquer de V :
A = 0 & 0 & a 0 & b & 0 c & 0 & 0
Multiplicando por um escalar k in R :
kA = k cdot 0 & k cdot 0 & k cdot a k cdot 0 & k cdot b & k cdot 0 k cdot c & k cdot 0 & k cdot 0 = 0 & 0 & ka 0 & kb & 0 kc & 0 & 0
A matriz resultante ainda tem o mesmo formato de V , com ka , kb e kc sendo números reais. Então, kA está em V .

Resposta

Como verificamos que V contém a matriz zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que V é, de fato, um espaço vetorial com as operações definidas em R^3 times 3 .

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