Considere os vetores
& A=2 i-3 j+a k & B=b i+j-4 k & C=3 i+c j+2 k
O vetor A é perpendicular ao B e ao C. Também sabe-se que B cdot C=2. Use a fatoração LU para descobrir os valores de a, b e c.

Passo 1

O enunciado dá três vetores
A=2i-3j+ak, B=bi+j-4k, C=3i+cj+2k
e impõe as condições
  1. AperpB
  2. AperpC
  3. BcdotC=2.
    Para resolver, vamos primeiro usar produto escalar para obter um sistema linear em a,b,c e em seguida aplicar fatoração LU para solucioná-lo.

Passo 2

Calculemos os produtos escalares:
Então o sistema é

Passo 3

Vamos fatorar M=l[-4;;2;;0;;2;;0;;-3;;0;;3;;1r] em LU pelo método de eliminação de Gauss (Doolittle).
  1. Pivot em m11=-4:
    l21=2/(-4)=-tfrac12,;l31=0.
    Atualiza linha 2:
    [2,0,-3]-(-tfrac12)[-4,2,0]=[0,1,-3]
    Linha 3 fica [0,3,1].
  2. Pivot em nova posição (2,2)=1:
    l32=3/1=3.
    Atualiza linha 3:
[0,3,1]-3[0,1,-3]=[0,0,10]
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L= 1 & 0 & 0 -tfrac12 & 1 & 0 0 & 3 & 1 , U= -4 & 2 & 0 0 & 1 & -3 0 & 0 & 10

Passo 4

Resolva Ly=d, com d=(3,-6,10)^T, por substituição direta:
y1=3, y2=-6-(-tfrac12)cdot3=-tfrac92, y3=10-0cdot3-3l(-tfrac92r)=tfrac472

Passo 5

Resolva Ux=y por substituição regressiva:
3ª equação: 10,c=tfrac472 ;Longrightarrow;c=tfrac4720
2ª equação: b-3c=-tfrac92 ;Longrightarrow;b=-tfrac92+3cdottfrac4720=tfrac5120
1ª equação: -4a+2b=3 ;Longrightarrow;a=tfrac2140

Resposta

a=2140
b=5120
c=4720

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