a) Use a eliminação de Gauss para decompor o seguinte sistema
10 x1+2 x2-x3 & =27 -3 x1-6 x2+2 x3 & =-61.5 x1+x2+5 x3 & =-21.5
Em seguida, multiplique as matrizes resultantes [L] e [U] para determinar que a matriz [A] é obtida.

Passo 1

O enunciado pede para decompor a matriz de coeficientes
A = 10 & 2 & -1 [6pt] -3 & -6 & 2 [6pt] 1 & 1 & 5
em A = LU usando eliminação de Gauss, e depois verificar que LU = A.]

Passo 2

Aplicamos Gauss sem pivotamento apenas sobre A.
1. Primeiro pivô é a11=10.
m21 = -310 = -tfrac310, m31 = 110 = tfrac110
Eliminando:
R2 >=ts R2 - m21R1 ;Longrightarrow; (0,,-6 +0,6,;2 -0,3) = l(0,,-tfrac275,,tfrac1710r),
R3 >=ts R3 - m31R1 ;Longrightarrow; (0,;1 -0,2,;5+0,1) = l(0,;0,8,;5,1r)
2. Segundo pivô é o novo a22=-tfrac275.
m32 = 0,8-tfrac275 = -tfrac427
Eliminando:
R3 >=ts R3 - m32R2 ;Longrightarrow; l(0,;0,;5,1 + tfrac427cdottfrac1710r) = l(0,;0,;tfrac28954r)
O resultado final da eliminação fornece a matriz triangular superior
U = 10 & 2 & -1 [4pt] 0 & -tfrac275 & tfrac1710 [4pt] 0 & 0 & tfrac28954 ]

Passo 3

A matriz L é construída com os multiplicadores m21,m31,m32 e 1's na diagonal:
L = 1 & 0 & 0 [4pt] -tfrac310 & 1 & 0 [4pt] tfrac110 & -tfrac427 & 1 ]

Passo 4

Multiplicamos L por U para verificar que retorna A.
LU = 1 & 0 & 0 [4pt] -tfrac310 & 1 & 0 [4pt] tfrac110 & -tfrac427 & 1 10 & 2 & -1 [6pt] 0 & -tfrac275 & tfrac1710 [6pt] 0 & 0 & tfrac28954 = 10 & 2 & -1 [4pt] -3 & -6 & 2 [4pt] 1 & 1 & 5 = A ]

Resposta

L = 1 & 0 & 0 [4pt] -tfrac310 & 1 & 0 [4pt] tfrac110 & -tfrac427 & 1 , U = 10 & 2 & -1 [4pt] 0 & -tfrac275 & tfrac1710 [4pt] 0 & 0 & tfrac28954
e LU = A.]

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