Uma matriz
de ordem
é dita idempotente se
.
Mostre que uma matriz idempotente é inversível se e somente se, é a matriz Identidade.
Mostre que uma matriz idempotente é inversível se e somente se, é a matriz Identidade.
Passo 1
O enunciado fala de matrizes idempotentes, ou seja, de ordem
que satisfazem
Queremos mostrar que, entre essas, apenas a identidade
é invertível.
Passo 2
Suponha que
seja idempotente e invertível. Então existe
tal que
. Da equação
multiplicamos à direita por
:
No lado esquerdo temos
, e no direito
. Logo
Passo 3
Por outro lado, a matriz identidade satisfaz
e é obviamente invertível com
. Portanto
é idempotente e invertível.
Resposta
A única matriz idempotente e inversível é a matriz identidade
.