Considere os vetores \mathbf{a}=[2,-1,0], \mathbf{b}=[-4,2,5] e \mathbf{c}=[0,0,3]. Encontre:
\mathbf{a}+3 \mathbf{b}, \quad 2 \mathbf{b}-\mathbf{c}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \mathbf{a}=[2,-1,0], \mathbf{b}=[-4,2,5] e \mathbf{c}=[0,0,3] e pede para encontrar duas expressões:
\mathbf{a}+3\mathbf{b}
e
2\mathbf{b}-\mathbf{c}.
Vou listar todas as informações relevantes que temos:
  • \mathbf{a}=[2,-1,0].
  • \mathbf{b}=[-4,2,5].
  • \mathbf{c}=[0,0,3].
    As operações envolvidas são multiplicação de vetor por escalar, soma e subtração de vetores (tudo componente a componente).

Passo 2

Entendendo multiplicação de um vetor por um escalar (mini-aula prática).
  • Se \mathbf{v}=[v_1,v_2,v_3] e k é um número real, então
k\mathbf{v}=[k v_1,\; k v_2,\; k v_3].
  • Exemplo bem simples: 2[1,2,3]=[2\cdot1,2\cdot2,2\cdot3]=[2,4,6].
    Esse é o procedimento que usaremos para calcular 3\mathbf{b} e 2\mathbf{b}.

Passo 3

Calcular 3\mathbf{b} componente a componente (peguei os componentes de \mathbf{b} da lista acima).
\mathbf{b}=[-4,2,5]
3\mathbf{b}=[3\cdot(-4),\;3\cdot2,\;3\cdot5]=[-12,\;6,\;15].

Passo 4

Entendendo soma de vetores (mini-aula prática).
  • Se \mathbf{u}=[u_1,u_2,u_3] e \mathbf{v}=[v_1,v_2,v_3] então
\mathbf{u}+\mathbf{v}=[u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;u_3+v_3].
É só somar cada componente correspondente.

Passo 5

Calcular \mathbf{a}+3\mathbf{b} usando o resultado do Passo 3 (peguei \mathbf{a} e 3\mathbf{b} das etapas anteriores).
\mathbf{a}=[2,-1,0],\qquad 3\mathbf{b}=[-12,6,15]
\mathbf{a}+3\mathbf{b}=[2+(-12),\;-1+6,\;0+15]=[-10,\;5,\;15].

Passo 6

Calcular 2\mathbf{b} componente a componente (novamente usando \mathbf{b} dado).
2\mathbf{b}=[2\cdot(-4),\;2\cdot2,\;2\cdot5]=[-8,\;4,\;10].

Passo 7

Entendendo subtração de vetores (mini-aula prática).
  • Se \mathbf{u}=[u_1,u_2,u_3] e \mathbf{v}=[v_1,v_2,v_3] então
\mathbf{u}-\mathbf{v}=[u_1-v_1,\;u_2-v_2,\;u_3-v_3].
É exatamente como soma, só que subtrai componente a componente.

Passo 8

Calcular 2\mathbf{b}-\mathbf{c} usando os resultados anteriores (peguei 2\mathbf{b} do Passo 6 e \mathbf{c} do enunciado).
2\mathbf{b}=[-8,4,10],\qquad \mathbf{c}=[0,0,3]
2\mathbf{b}-\mathbf{c}=[-8-0,\;4-0,\;10-3]=[-8,\;4,\;7].

Resposta

\mathbf{a}+3\mathbf{b}=[-10,5,15]
2\mathbf{b}-\mathbf{c}=[-8,4,7]

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