1- Considere os vetores \mathrm{v} 1=(1, \mathrm{a}) e \mathrm{v} 2=(\mathrm{b}, 0). Pergunta-se: [\mathrm{v} 1, \mathrm{v} 2] é uma base de R^{2} ? Por que?

Passo 1

O enunciado dá os vetores \mathrm{v}_1=(1,a) e \mathrm{v}_2=(b,0) em \mathbb{R}^2 e pergunta se eles formam uma base. O conteúdo aqui é independência linear em \mathbb{R}^2, que podemos verificar calculando o determinante da matriz formada por esses vetores.

Passo 2

Dois vetores em \mathbb{R}^2 são base se, e somente se, forem linearmente independentes. Em \mathbb{R}^2, isso equivale a exigir que o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas (ou linhas) seja diferente de zero.

Passo 3

Formamos a matriz cujas colunas são \mathrm{v}_1 e \mathrm{v}_2:
M = \begin{pmatrix} 1 & b \\\ a & 0 \end{pmatrix}.
O determinante de M é
\det(M) = 1\cdot 0 \;-\; a\cdot b \;=\;-\,a b.

Passo 4

Para independência linear precisamos de \det(M)\neq0, ou seja,
-\,a b \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a b \neq 0.
Isso significa que a\neq0 e b\neq0.

Resposta

\mathrm{v}_1 e \mathrm{v}_2 formam uma base de \mathbb{R}^2 se, e somente se, a b \neq 0.

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