Definido o operador do momento angular da mecânica quântica como \mathbf{L}=-i(\(\mathbf{r} \times \boldsymbol{\nabla})), mostre que
L_{x}-i L_{y}=-e^{-i \varphi}\left(\frac{\partial}{\partial \theta}-i \operatorname{cotg} \theta \frac{\partial}{\partial \varphi}\right)
(Esses são os operadores de levantamento e abaixamento da Seção 4.3.))

Passo 1

O enunciado define o operador de momento angular em mecânica quântica
\mathbf{L}=-\,i\bigl(\mathbf{r}\times\boldsymbol{\nabla}\bigr)
e pede para mostrar que o operador de abaixamento \;L_{x}-iL_{y}\; pode ser escrito em coordenadas esféricas como
L_{x}-iL_{y}=-e^{-i\varphi}\Bigl(\frac{\partial}{\partial\theta}-i\cot\theta\,\frac{\partial}{\partial\varphi}\Bigr).
Para isso vamos usar a expressão de \boldsymbol{\nabla} e dos versores esféricos.

Passo 2

Em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) temos
\boldsymbol{\nabla} = \mathbf{e}_r\,\frac{\partial}{\partial r} + \mathbf{e}_\theta\,\frac{1}{r}\,\frac{\partial}{\partial\theta} + \mathbf{e}_\varphi\,\frac{1}{r\sin\theta}\,\frac{\partial}{\partial\varphi},
e \mathbf{r}=r\,\mathbf{e}_r. Logo
\mathbf{r}\times\boldsymbol{\nabla} = r\,\mathbf{e}_r\times\Bigl(\mathbf{e}_r\,\partial_r +\mathbf{e}_\theta\,\frac{1}{r}\partial_\theta +\mathbf{e}_\varphi\,\frac{1}{r\sin\theta}\partial_\varphi\Bigr).

Passo 3

Como \mathbf{e}_r\times \mathbf{e}_r=0 só restam os dois outros termos:
\mathbf{r}\times\boldsymbol{\nabla} = \mathbf{e}_r\times\mathbf{e}_\theta\;\partial_\theta + \mathbf{e}_r\times\mathbf{e}_\varphi\;\frac{1}{\sin\theta}\,\partial_\varphi.
Usando \mathbf{e}_r\times\mathbf{e}_\theta=\mathbf{e}_\varphi e \mathbf{e}_r\times\mathbf{e}_\varphi=-\mathbf{e}_\theta obtemos
\mathbf{r}\times\boldsymbol{\nabla} =\mathbf{e}_\varphi\,\partial_\theta -\mathbf{e}_\theta\,\frac{1}{\sin\theta}\,\partial_\varphi.

Passo 4

Multiplicando por -i definimos
\mathbf{L} =-\,i\bigl(\mathbf{r}\times\boldsymbol{\nabla}\bigr) =-\,i\Bigl(\mathbf{e}_\varphi\,\partial_\theta -\mathbf{e}_\theta\,\frac{1}{\sin\theta}\partial_\varphi\Bigr).

Passo 5

O operador de abaixamento é
L_{x}-iL_{y} =(\mathbf{e}_x - i\,\mathbf{e}_y)\cdot \mathbf{L} =-\,i\Bigl[(\mathbf{e}_x - i\mathbf{e}_y)\!\cdot\!\mathbf{e}_\varphi\;\partial_\theta -(\mathbf{e}_x - i\mathbf{e}_y)\!\cdot\!\mathbf{e}_\theta\;\frac{1}{\sin\theta}\partial_\varphi\Bigr].
Precisamos então dos produtos escalares dos versores.

Passo 6

Expressos em base cartesiana \mathbf{e}_\varphi=-\sin\varphi\,\mathbf{e}_x+\cos\varphi\,\mathbf{e}_y e \mathbf{e}_\theta=\cos\theta\cos\varphi\,\mathbf{e}_x+\cos\theta\sin\varphi\,\mathbf{e}_y-\sin\theta\,\mathbf{e}_z.
Então
(\mathbf{e}_x - i\mathbf{e}_y)\!\cdot\!\mathbf{e}_\varphi =-\sin\varphi - i\cos\varphi =-\,i\,e^{-i\varphi},
(\mathbf{e}_x - i\mathbf{e}_y)\!\cdot\!\mathbf{e}_\theta =\cos\theta\bigl(\cos\varphi - i\sin\varphi\bigr) =\cos\theta\,e^{-i\varphi}.

Passo 7

Substituindo em L_x - iL_y e simplificando o fator -i, vem
L_{x}-iL_{y} =-\,i\Bigl[-\,i\,e^{-i\varphi}\,\partial_\theta -\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\,e^{-i\varphi}\,\partial_\varphi\Bigr] =-\,e^{-i\varphi}\Bigl(\partial_\theta - i\cot\theta\,\partial_\varphi\Bigr).

Resposta

L_{x}-iL_{y} =-e^{-i\varphi}\Bigl(\frac{\partial}{\partial\theta} - i\,\cot\theta\,\frac{\partial}{\partial\varphi}\Bigr).

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