Definido o operador do momento angular da mecânica quântica como
, mostre que
(Esses são os operadores de levantamento e abaixamento da Seção 4.3.))
(Esses são os operadores de levantamento e abaixamento da Seção 4.3.))
Passo 1
O enunciado define o operador de momento angular em mecânica quântica
e pede para mostrar que o operador de abaixamento
pode ser escrito em coordenadas esféricas como
Para isso vamos usar a expressão de
e dos versores esféricos.
Passo 2
Em coordenadas esféricas
temos
e
. Logo
Passo 3
Como
só restam os dois outros termos:
Usando
e
obtemos
Passo 4
Multiplicando por
definimos
Passo 5
O operador de abaixamento é
Precisamos então dos produtos escalares dos versores.
Passo 6
Expressos em base cartesiana
e
.
Então
Então
Passo 7
Substituindo em
e simplificando o fator
, vem