Considere os vetores v=(alpha, 2,1), w=(-3, beta,-2), onde alpha, beta in R.
Determine alpha e beta para que v e w sejam ortogonais, sabendo que |v|=raiz5.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores v=(alpha,2,1) e w=(-3,beta,-2) em R^3 e pede que eles sejam ortogonais ( vcdotw=0) e que a norma de v satisfaça |v|=raiz5. Para resolver, usaremos a definição de norma euclidiana e produto escalar.

Passo 2

Impondo |v|=raiz5, calculamos
|v|^2 = alpha^2 + 2^2 + 1^2 = alpha^2 + 4 + 1 = alpha^2 + 5
Como |v|^2 = (raiz5)^2 = 5, temos
alpha^2 + 5 = 5 Longrightarrow alpha^2 = 0 Longrightarrow alpha = 0

Passo 3

Agora impomos ortogonalidade: vcdotw=0. Logo,
(alpha,2,1)cdot(-3,beta,-2) = -3alpha + 2beta - 2 = 0
Substituindo alpha=0 obtemos
-3cdot 0 + 2beta - 2 = 0 Longrightarrow 2beta - 2 = 0 Longrightarrow beta = 1

Resposta

alpha = 0
beta = 1

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