Represente Geometricamente a imagem das funções a seguir: F(t)=(e^t, t, t)

Passo 1

O enunciado pede pra representar geometricamente a imagem da curva F: Rto R^3 dada por
F(t) = l(e^t,,t,,tr)
O conteúdo aqui é curvas paramétricas em R^3 e a ideia é eliminar o parâmetro t para obter a descrição cartesiana da imagem.

Passo 2

Das componentes de F temos
x = e^t, y = t, z = t
Como y=t e z=t, segue que
y = z

Passo 3

Substituindo t=y em x=e^t obtemos
x = e^y
Portanto a imagem de F é
l(x,y,z)in R^3mid y=z,;x=e^y

Passo 4

Geométricamente, trata-se de uma curva exponencial contida no plano y=z. Para tto -infty ela se aproxima do plano x=0 (pois x=e^tto0) e, conforme t cresce, x cresce exponencialmente.

Resposta

A imagem de F é a curva no plano y=z descrita por
(x,y,z)in R^3mid y=z,;x=e^y

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