Represente Geometricamente a imagem das funções a seguir: F(t)=(t, 1, cos (t))

Passo 1

O enunciado nos dá a aplicação paramétrica
Fcolon RtoR^3, F(t)=(t,1,cos t)
e pede para representar geometricamente a sua imagem, ou seja, o conjunto F(t)mid tinR. O conteúdo aqui é curva parametrizada em R^3 e vamos usar a interpretação das três coordenadas para descrever sua forma.

Passo 2

Repare que a segunda coordenada de F(t) é sempre 1. Logo a curva está inteiramente contida no plano
y=1
que é paralelo ao plano xz. Isso significa que podemos estudar sua forma olhando apenas para as coordenadas x e z.

Passo 3

Nas coordenadas x e z a curva é dada por
(x,z)=(t,cos t),
que é exatamente o gráfico da função z=cos x no plano xz. Assim, ao variar t, o ponto descreve oscilações senoidais no eixo z à medida que avança no eixo x.

Passo 4

Combinando os dois fatos acima, concluímos que a imagem de F é uma curva senoidal que se estende ao longo do eixo x, com amplitude 1 em z, e totalmente contida no plano y=1. Geometricamente, é o “sinuoso” gráfico de z=cos x elevado ao plano paralelo y=1.

Resposta

A imagem de F é uma curva senoidal no plano y=1, correspondente ao gráfico de z=cos x deslocado para y=1.

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