Seja w=(-1, raiz3). Ache um vetor unitário u tal que o ângulo entre u e w seja pi6.

Passo 1

O enunciado dá w=(-1,raiz3) e pede um vetor unitário u tal que o ângulo entre u e w seja pi/6. Para isso usamos a definição do cosseno do ângulo entre vetores:
costheta = ucdotw|u|;|w|
Como queremos |u|=1 e theta=pi/6, teremos
ucdotw=|w|cospi6

Passo 2

Calculamos o comprimento de w:
|w|=raiz(-1)^2+(raiz3)^2 =raiz1+3 =2

Passo 3

Substituindo em ucdotw=|w|cos(pi/6) obtemos
ucdotw =2cdotraiz32 =raiz3
Se escrevemos u=(x,y) então
(-1),x+(raiz3),y=raiz3,
ou seja
-x+raiz3,y=raiz3

Passo 4

Dessa equação isolamos y:
raiz3,y=raiz3+x Longrightarrow y=1+xraiz3
Também impomos a condição de vetor unitário:
x^2+y^2=1

Passo 5

Substituindo y=1+xraiz3 em x^2+y^2=1 obtemos
x^2+l(1+tfracxraiz3r)^2=1 Longrightarrow 43x^2+2raiz3x=0 Longrightarrow xl(tfrac43x+tfrac2raiz3r)=0
Isso dá duas soluções:
  1. x=0, então y=1.
  2. tfrac43x+tfrac2raiz3=0, de onde x=-tfracraiz32 e y=tfrac12.

Resposta

As duas soluções unitárias são
u=(0,1)
e
u=l(-tfracraiz32,tfrac12r).

Exercícios relacionados