Considere os vetores do R^4
u=[c -2 -5 1 1 ], v=[c 3 8 -1 0 ], w=[l 1 4 1 4 ]
Verifique se o conjunto de vetores u, v, w é LI (linearmente independente).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto de vetores u, v, w é linearmente independente no espaço R^4. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre independência linear. Para resolver isso, a gente vai precisar montar uma matriz com esses vetores e verificar se a única solução para a combinação linear igual a zero é a trivial (todos os coeficientes sendo zero).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Basicamente, diz que não dá para escrever nenhum vetor do conjunto como combinação linear dos outros. Em termos matemáticos, se temos uma combinação c1u + c2v + c3w = 0, a única solução para os coeficientes c1, c2 e c3 deve ser c1 = c2 = c3 = 0.

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz com os vetores u, v e w como colunas:
A = -2 & 3 & 1 -5 & 8 & 4 1 & -1 & 1 1 & 0 & 4
Nossa tarefa é verificar se a equação A cdot c1 c2 c3 = 0 0 0 0 só tem a solução trivial.

Passo 4

Para isso, vamos resolver o sistema de equações lineares correspondente:
-2c1 + 3c2 + 1c3 = 0 -5c1 + 8c2 + 4c3 = 0 1c1 - 1c2 + 1c3 = 0 1c1 + 0c2 + 4c3 = 0
Vamos simplificar isso usando o método da eliminação de Gauss para reduzir a matriz a uma forma mais simples.

Passo 5

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada:
-2 & 3 & 1 & | & 0 -5 & 8 & 4 & | & 0 1 & -1 & 1 & | & 0 1 & 0 & 4 & | & 0
Vamos começar eliminando o primeiro coeficiente das linhas abaixo da primeira.

Passo 6

Multiplicamos a primeira linha por -1/2 para facilitar:
1 & -1.5 & -0.5 & | & 0 -5 & 8 & 4 & | & 0 1 & -1 & 1 & | & 0 1 & 0 & 4 & | & 0
Agora, vamos somar 5 vezes a primeira linha à segunda, e subtrair a primeira linha da terceira e da quarta:
Linha 2: -5 + 5(1) = 0, 8 + 5(-1.5) = 8 - 7.5 = 0.5, 4 + 5(-0.5) = 4 - 2.5 = 1.5
Linha 3: 1 -1 = 0, -1 - (-1.5) = -1 +1.5 = 0.5, 1 - (-0.5) = 1 +0.5 =1.5
Linha 4: 1 -1 = 0, 0 - (-1.5) = 1.5, 4 - (-0.5) =4 +0.5=4.5
Então a matriz fica:
1 & -1.5 & -0.5 & | & 0 0 & 0.5 & 1.5 & | & 0 0 & 0.5 & 1.5 & | & 0 0 & 1.5 & 4.5 & | & 0

Passo 7

Agora, observamos que a segunda e terceira linhas são iguais. Vamos subtrair a segunda linha da terceira para simplificar:
Linha 3: 0 -0 =0, 0.5 -0.5=0, 1.5 -1.5=0
Então, a matriz fica:
1 & -1.5 & -0.5 & | & 0 0 & 0.5 & 1.5 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 1.5 & 4.5 & | & 0

Passo 8

Agora, vamos simplificar a segunda e a quarta linhas. Dividimos a segunda linha por 0.5:
Linha 2: 0.5 /0.5 =1, 1.5 /0.5=3, 0 /0.5=0
E a quarta linha:
Linha 4: 1.5 /0.5 =3, 4.5 /0.5=9
Então:
1 & -1.5 & -0.5 & | & 0 0 & 1 & 3 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 3 & 9 & | & 0

Passo 9

Agora, vamos eliminar o elemento da quarta linha referente à segunda coluna. Subtraímos 3 vezes a segunda linha da quarta:
Linha 4: 3 -3(1)=0, 9 -3(3)=0
A matriz fica:
1 & -1.5 & -0.5 & | & 0 0 & 1 & 3 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 10

Agora, a nossa matriz está na forma simplificada. Observamos que temos duas equações:
c1 -1.5c2 -0.5c3 = 0 c2 +3c3 = 0
A terceira e quarta linhas não acrescentam novas informações.

Passo 11

Vamos resolver o sistema. Da segunda equação:
c2 + 3c3 = 0 Rightarrow c2 = -3c3
Substituindo na primeira equação:
c1 -1.5(-3c3) -0.5c3 =0 Rightarrow c1 +4.5c3 -0.5c3 =0 Rightarrow c1 +4c3 =0 Rightarrow c1 = -4c3

Passo 12

Vemos que c3 é livre, ou seja, pode ser qualquer valor. Portanto, há infinitas soluções para o sistema além da trivial, como por exemplo:
Se c3 =1, então c2 = -3 e c1 = -4
Isso significa que os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto de vetores u, v, w é linearmente dependente.

Exercícios relacionados