Seja T: R^3 R^2 a transformação linear definida por
T([l x1 x2 x3 ])=[c 2 x1-x2+x3 4 x1+3 x2+x3 ] [ccc 2 & -1 & 1 4 & 3 & 1 ]
Decida se T é sobrejetora.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear Tcolon R^3toR^2 dada pela matriz
A = 2 & -1 & 1 4 & 3 & 1
Pergunta-se se T é sobrejetora, ou seja, se a imagem de T é todo R^2. Para isso, vamos usar o conceito de posto ( rank) de matriz e o critério de sobrejeção: T é sobrejetora se e somente se rank(A)=dim(R^2)=2.

Passo 2

O critério de sobrejeção para uma aplicação linear Tcolon R^ntoR^m é que a dimensão da imagem de T seja m. Como dim(R^2)=2, precisamos mostrar que rank(A)=2. Se rank(A)<2, não seria possível gerar todo R^2.

Passo 3

Para calcular rank(A) podemos verificar a independência linear de duas colunas quaisquer ou usar eliminação. Um jeito rápido é checar algum menor 2times2 de A: se algum desses menores for não nulo, então rank(A)>=2. Como A tem apenas 2 linhas, o posto máximo é 2.

Passo 4

Vamos verificar o menor formado pelas colunas 1 e 2:
det! 2 & -1 4 & 3 =2cdot3 -(-1)cdot4 =6+4 =10neq0
Como existe um menor 2times2 não nulo, segue que rank(A)=2.

Passo 5

Tendo rank(A)=2 e sabendo que dim(R^2)=2, concluímos que dim(Im(T))=2. Logo a imagem de T é todo R^2, ou seja, T é sobrejetora.

Resposta

Sim, T é sobrejetora.

Exercícios relacionados