Considere os vetores do R^4
u=[c -2 -5 1 1 ], v=[c 3 8 -1 0 ], w=[l 1 4 1 4 ]
Verifique se o vetor b=[c1 6 3 10] pertence a mathscrL(u, v, w),
e no caso afirmativo, escreva b como uma combinação linear de u, v e w.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três vetores no espaço de 4 dimensões, chamados de u , v e w , e um vetor b . A nossa missão é descobrir se b pode ser formado combinando linearmente u , v e w . Isso está ligado ao conteúdo de combinação linear e espaço gerado por vetores. Para resolver, vamos precisar montar um sistema de equações usando os componentes dos vetores e ver se ele tem solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os vetores:
u = -2 -5 1 1 , v = 3 8 -1 0 , w = 1 4 1 4 , b = 1 6 3 10
Queremos encontrar escalares a , c e d tais que:
au + cv + dw = b
Isso significa que:
a -2 -5 1 1 + c 3 8 -1 0 + d 1 4 1 4 = 1 6 3 10

Passo 3

Vamos quebrar isso em componentes. Isso nos dá um sistema de quatro equações:
-2a + 3c + d = 1 -5a + 8c + 4d = 6 a - c + d = 3 a + 0c + 4d = 10
Agora, temos que resolver esse sistema para encontrar os valores de a , c e d .

Passo 4

Vamos começar pela última equação, que é mais simples:
a + 4d = 10
Podemos isolar a :
a = 10 - 4d
Agora, vamos substituir a nas outras equações para reduzir o sistema.

Passo 5

Substituindo a = 10 - 4d na terceira equação:
(10 - 4d) - c + d = 3
Simplificando:
10 - 4d - c + d = 3 10 - 3d - c = 3 -3d - c = 3 - 10 -3d - c = -7
Podemos escrever como:
c + 3d = 7

Passo 6

Agora, substituímos a = 10 - 4d na primeira equação:
-2(10 - 4d) + 3c + d = 1 -20 + 8d + 3c + d = 1 9d + 3c = 21
Podemos dividir tudo por 3 para simplificar:
3d + c = 7

Passo 7

Agora temos duas equações com duas incógnitas:
c + 3d = 7 3d + c = 7
Surpreendentemente, essas duas equações são iguais! Isso significa que qualquer valor de d que satisfizer uma delas também satisfaz a outra. Vamos escolher um valor para d e encontrar c .

Passo 8

Vamos escolher d = 1 (pode ser qualquer número, mas escolher 1 facilita):
Substituindo na equação c + 3(1) = 7 :
c + 3 = 7 c = 4
Agora, usando d = 1 na equação a = 10 - 4d :
a = 10 - 4(1) = 6

Passo 9

Vamos verificar se esses valores satisfazem a segunda equação do sistema original:
-5a + 8c + 4d = 6 -5(6) + 8(4) + 4(1) = -30 + 32 + 4 = 6
Confere certinho!

Resposta

Sim, o vetor b pertence a mathscrL(u, v, w) e pode ser escrito como:
b = 6,u + 4,v + 1,w

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