Use escalonamento de matrizes para determinar para quais valores de a o sistematinear
x-2 y+z+a w & =-1 2 x-2 y+z+(3+2 a) w & =2 -x+2 y+2 z-3 w & =2 a-3 3 z+(a^2-3 a) w & =3 a-5
Não possui solução.

Passo 1

O enunciado pede para usar eliminação de Gauss (escalonamento de matrizes) num sistema linear com parâmetro a e descobrir para quais valores de a o sistema não admite solução. Vamos montar a matriz aumentada, escalonar, e identificar quando surge uma linha do tipo [0;0;0;0mid c] com cneq0, que é condição de inconsistência.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema
[cccc|c 1 & -2 & 1 & a & -1 2 & -2 & 1 & 3+2a & 2 -1& 2 & 2 & -3 & 2a-3 0 & 0 & 3 & a^2-3a & 3a-5 ]

Passo 3

Zeramos os elementos abaixo do pivô na coluna de x fazendo
R2 R2-2R1, R3 R3+R1
Isso leva a
[cccc|c 1 & -2 & 1 & a & -1 0 & 2 & -1& 3 & 4 0 & 0 & 3 & a-3 & 2a-4 0 & 0 & 3 & a^2-3a& 3a-5 ]

Passo 4

Eliminamos o 3 embaixo do pivô de z com
R4 R4-R3,
ficando
[cccc|c 1 & -2 & 1 & a & -1 0 & 2 & -1& 3 & 4 0 & 0 & 3 & a-3 & 2a-4 0 & 0 & 0 & a^2-4a+3 & a-1 ]
Para haver inconsistência precisamos da equação
0cdot x + 0cdot y +0cdot z +0cdot w = a-1
com a-1neq0. Isso ocorre exatamente quando
a^2-4a+3=0 e a-1neq0
Como a^2-4a+3=(a-1)(a-3)=0, excluindo a=1 (que daria 0=0), sobra
a=3

Resposta

O sistema não possui solução exatamente para a=3.

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