Considere os vetores v1=(-1,2,3), v2=(2,-1,1), v3=(4,1,9).
Os vetores v1, v2 e v3 são LI ou LD. Justifique!

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores v1=(-1,2,3), v2=(2,-1,1) e v3=(4,1,9) em R^3 são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Vamos usar o teste do determinante: montamos a matriz cujas linhas (ou colunas) são esses vetores e calculamos seu determinante. Se ele for zero, os vetores são LD; caso contrário, são LI.

Passo 2

Formamos a matriz
M = -1 & 2 & 3 2 & -1 & 1 4 & 1 & 9
e calculamos det(M) por expansão:
det(M) = -1cdotl((-1)cdot9 - 1cdot1r) - 2cdotl(2cdot9 - 1cdot4r) + 3cdotl(2cdot1 - (-1)cdot4r)

Passo 3

Calculando cada termo:
-1cdot(-10) ;=; 10, -2cdot(18-4)= -2cdot14 = -28, 3cdot(2+4)=3cdot6=18
Somando,
det(M)=10 -28 +18 = 0
Como o determinante é zero, existe combinação linear não trivial entre v1,v2,v3, logo eles são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores v1,v2,v3 são linearmente dependentes (LD), pois det(M)=0.

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