Decida se as afirmações dadas são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta com um argumento lógico ou um contra-exemplo.
( ) Se X1 e X2 são soluções do sistema linear A X=B, então 13 X1+23 X2 é solução do sistema linear A X=B.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dado um sistema linear A X = B e duas soluções ,X1 e ,X2 (ou seja, A X1=B e A X2=B), vale que a combinação tfrac13X1+tfrac23X2 também seja solução. O conteúdo necessário é a linearidade do operador representado pela matriz A e a noção de combinação afim de vetores.

Passo 2

Como A é linear, para quaisquer escalares lambda e mu e vetores u,v vale
A(lambda u+mu v)=lambda,A u+mu,A v
Aqui usamos isso com u=X1, v=X2, lambda=tfrac13 e mu=tfrac23.

Passo 3

Aplicando a linearidade de A ao vetor tfrac13X1+tfrac23X2, temos:
Al(tfrac13X1+tfrac23X2r) =tfrac13A X1+tfrac23A X2 =tfrac13B+tfrac23B =B
Isso mostra que tfrac13X1+tfrac23X2 satisfaz A X=B.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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