Considere os vetores: u=(0,-3), v=(0,3), w=(-5,3) e p=(3,5), z=(1,-9) para todas as atividades propostas.
Prove que dados dois vetores a=(x, y) e b=(y,-x), o ângulo ente a e b é de 90^circ, ou seja, que são perpendiculares entre si, para quaisquer dois x e y números reais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer reais x e y, os vetores
a = (x,y)
e
b = (y,-x)
são perpendiculares, isto é, que o ângulo entre eles é de 90^circ.
Para isso, vamos usar a definição de produto escalar em R^2 e a relação entre produto escalar e cosseno do ângulo.

Passo 2

Calculemos o produto escalar acdotb. Pela definição, se
a=(a1,a2) e b=(b1,b2), então
acdotb=a1b1+a2b2
Aqui a1=x, a2=y, b1=y, b2=-x. Logo
acdotb = xcdot y ;+; ycdot(-x) = xy ;-; xy = 0

Passo 3

Do produto escalar zero segue imediatamente que a e b são ortogonais. Em termos de ângulo, usamos
costheta =acdotb|a|;|b| =0|a|;|b| =0,
portanto
theta = arccos(0) = 90^circ

Resposta

Os vetores a=(x,y) e b=(y,-x) são perpendiculares para quaisquer x,yinR.

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