Verifique se as aplicações abaixo são transformações lineares:
T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x+1, y+2, z-3).

Passo 1

O enunciado nos dá a aplicação
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (x+1,;y+2,;z-3)
e pede para verificar se ela é transformação linear. Para isso a gente vai usar a definição de transformação linear:
  1. aditividade: T(u+v) = T(u) + T(v) para todo u,v,
  2. homogeneidade: T(alpha u) = alpha,T(u) para todo escalar alpha.
    Uma consequência clássica é que uma transformação linear deve mandar o vetor zero em zero:
T(0,0,0) = (0,0,0)

Passo 2

Testando a condição sobre o vetor zero, temos
T(0,0,0) = (0+1,;0+2,;0-3) = (1,2,-3),
que claramente não é (0,0,0). Logo já falha uma condição necessária para linearidade.

Passo 3

Para reforçar, a gente também pode checar aditividade. Tome
u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2)
Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2),
T(u+v) = (x1+x2+1,;y1+y2+2,;z1+z2-3)
Por outro lado,
T(u) = (x1+1,;y1+2,;z1-3), T(v) = (x2+1,;y2+2,;z2-3),
T(u)+T(v) = (x1+x2+2,;y1+y2+4,;z1+z2-6)
Como
T(u+v)neq T(u)+T(v),
a aditividade também falha.

Resposta

T não é transformação linear.

Exercícios relacionados