Considere os vetores u=(3,2) e v=(-1,3) de \mathbb{R}^{2} e responda os ítem abaixo.
a) Prove que u e v são linearmente independentes.
b) Escreva w=(5,1) como combinação linear de u e v.
c) Determine a projeção ortogonal de v sobre u.
d) Escreva v como uma soma de vetores v=v_{/ /}+v_{\perp}, onde v_{/ /}é paralelo a u e v_{\perp} é ortogonal a u.
Passo 1
O enunciado dá os vetores u=(3,2) e v=(-1,3) em \mathbb{R}^2 e pede:
(a) mostrar que u e v são linearmente independentes;
(b) expressar w=(5,1) como combinação linear de u e v;
(c) encontrar a projeção ortogonal de v sobre u;
(d) decompor v em v = v_{/\!/}+v_{\perp}, sendo v_{/\!/} paralelo a u e v_{\perp} ortogonal a u.
Conteúdos: noções de independência linear, sistemas lineares, projeção ortogonal e decomposição vetorial.
Passo 2
Para provar que u\) e \(v\) são linearmente independentes, consideramos a combinação
\[\alpha\,u + \beta\,v = 0,
Substituindo em 3\alpha - \beta=0\] obtemos \(\beta=0. Logo, a única combinação que dá o vetor zero é trivial, então u e v são linearmente independentes.
Passo 3
Para escrever w=(5,1)\) como combinação linear de \(u\) e \(v\), buscamos \(\alpha,\beta\) tais que
\[\alpha(3,2) + \beta(-1,3) = (5,1).
Verifica-se que v_{\perp}\cdot u = 0, garantindo a ortogonalidade.
Resposta
(a) u e v são linearmente independentes, pois a combinação \alpha u+\beta v=0 leva a \alpha=\beta=0.
(b) w=(5,1)=\tfrac{16}{11}\,u \;-\;\tfrac{7}{11}\,v.
(c) \mathrm{proj}_{u}(v)=\bigl(\tfrac{9}{13},\tfrac{6}{13}\bigr).
(d) v_{/\!/}=\bigl(\tfrac{9}{13},\tfrac{6}{13}\bigr) e v_{\perp}=\bigl(-\tfrac{22}{13},\tfrac{33}{13}\bigr).