Considere os vetores u=(3,2) e v=(-1,3) de \mathbb{R}^{2} e responda os ítem abaixo.
a) Prove que u e v são linearmente independentes.
b) Escreva w=(5,1) como combinação linear de u e v.
c) Determine a projeção ortogonal de v sobre u.
d) Escreva v como uma soma de vetores v=v_{/ /}+v_{\perp}, onde v_{/ /}é paralelo a u e v_{\perp} é ortogonal a u.

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(3,2) e v=(-1,3) em \mathbb{R}^2 e pede:
  • (a) mostrar que u e v são linearmente independentes;
  • (b) expressar w=(5,1) como combinação linear de u e v;
  • (c) encontrar a projeção ortogonal de v sobre u;
  • (d) decompor v em v = v_{/\!/}+v_{\perp}, sendo v_{/\!/} paralelo a u e v_{\perp} ortogonal a u.
    Conteúdos: noções de independência linear, sistemas lineares, projeção ortogonal e decomposição vetorial.

Passo 2

Para provar que u\) e \(v\) são linearmente independentes, consideramos a combinação \[\alpha\,u + \beta\,v = 0,
isto é,
\alpha(3,2) + \beta(-1,3) = (0,0).
Isso gera o sistema
\begin{cases} 3\alpha - \beta = 0,\\\\ 2\alpha + 3\beta = 0. \end{cases}
Multiplicando a primeira equação por 3 e somando à segunda:
9\alpha - 3\beta + 2\alpha + 3\beta = 0 \quad\Longrightarrow\quad 11\alpha = 0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha=0.
Substituindo em 3\alpha - \beta=0\] obtemos \(\beta=0. Logo, a única combinação que dá o vetor zero é trivial, então u e v são linearmente independentes.

Passo 3

Para escrever w=(5,1)\) como combinação linear de \(u\) e \(v\), buscamos \(\alpha,\beta\) tais que \[\alpha(3,2) + \beta(-1,3) = (5,1).
Isto é o sistema
\begin{cases} 3\alpha - \beta = 5,\\\\ 2\alpha + 3\beta = 1. \end{cases}
Multiplicando a primeira por 3: 9\alpha -3\beta=15\]. Somando à segunda: \[9\alpha -3\beta + 2\alpha +3\beta = 15 + 1 \quad\Longrightarrow\quad 11\alpha = 16 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \frac{16}{11}.\] Então \(\beta = 3\alpha -5 = \frac{48}{11}-\frac{55}{11} = -\frac{7}{11}. Portanto,
w = \frac{16}{11}\,u \;-\;\frac{7}{11}\,v.

Passo 4

A projeção ortogonal de v sobre u é dada por
\mathrm{proj}_{u}(v) = \frac{v\cdot u}{u\cdot u}\,u.
Calculamos
v\cdot u = (-1)\cdot 3 + 3\cdot 2 = -3 + 6 = 3, \quad u\cdot u = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13.
Logo
\mathrm{proj}_{u}(v) = \frac{3}{13}\,u = \frac{3}{13}(3,2) = \Bigl(\frac{9}{13},\,\frac{6}{13}\Bigr).

Passo 5

Para decompor v em parte paralela e ortogonal a u, definimos
v_{/\!/} = \mathrm{proj}_{u}(v) = \Bigl(\tfrac{9}{13},\,\tfrac{6}{13}\Bigr), \qquad v_{\perp} = v - v_{/\!/} = \Bigl(-1,3\Bigr) - \Bigl(\tfrac{9}{13},\,\tfrac{6}{13}\Bigr) = \Bigl(-1-\tfrac{9}{13},\,3-\tfrac{6}{13}\Bigr) = \Bigl(-\tfrac{22}{13},\,\tfrac{33}{13}\Bigr).
Verifica-se que v_{\perp}\cdot u = 0, garantindo a ortogonalidade.

Resposta

(a) u e v são linearmente independentes, pois a combinação \alpha u+\beta v=0 leva a \alpha=\beta=0.
(b) w=(5,1)=\tfrac{16}{11}\,u \;-\;\tfrac{7}{11}\,v.
(c) \mathrm{proj}_{u}(v)=\bigl(\tfrac{9}{13},\tfrac{6}{13}\bigr).
(d) v_{/\!/}=\bigl(\tfrac{9}{13},\tfrac{6}{13}\bigr) e v_{\perp}=\bigl(-\tfrac{22}{13},\tfrac{33}{13}\bigr).

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