Escreva w como combinação linear de u e v.
25. u=(7,5), v=(3,4), \mathrm{w}=(5,-2).

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor w=(5,-2) como combinação linear dos vetores u=(7,5) e v=(3,4). O conteúdo envolvido é combinação linear em \mathbb{R}^2, que exige encontrar escalares a e b tais que
a\,u + b\,v = w.

Passo 2

Escrevendo a condição de combinação linear em coordenadas, temos
a\,(7,5) + b\,(3,4) = (5,-2),
o que gera o sistema de equações lineares
\begin{cases} 7a + 3b = 5,\\\\ 5a + 4b = -2. \end{cases}

Passo 3

Para eliminar b, multiplicamos a primeira equação por 4 e a segunda por 3:
\begin{cases} 28a + 12b = 20,\\\\ 15a + 12b = -6. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira, obtemos
28a - 15a = 20 - (-6) \quad\Longrightarrow\quad 13a = 26 \quad\Longrightarrow\quad a = 2.

Passo 4

Substituindo a = 2 em 7a + 3b = 5, temos
7\cdot2 + 3b = 5 \quad\Longrightarrow\quad 14 + 3b = 5 \quad\Longrightarrow\quad 3b = -9 \quad\Longrightarrow\quad b = -3.

Resposta

w = 2\,u - 3\,v.

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