Para ter um exemplo numérico dos Exercícios 1.12 e 1.13 (pg 10) do Texto da Semana 1, resolva os itens abaixo.
Considere o vetor u=(2,-3) \in \mathbb{R}^{2}.
a) Calcule \|u\|.
b) Encontre o vetor \frac{u}{\|u\|} descrevendo suas coordenadas.
c) Encontre o vetor na direção do vetor u que possui norma igual a 2 .
d) Calcule a norma do vetor encontrado acima para conferir o resultado.

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor u=(2,-3)\in\mathbb{R}^2 e pede:
— (a) a norma \|u\|;
— (b) o vetor unitário \tfrac{u}{\|u\|};
— (c) um vetor na mesma direção de u com norma 2;
— (d) a norma desse vetor para conferir o resultado.
O conteúdo envolve norma de vetor em \mathbb{R}^n, definição de vetor unitário e escala de vetor.

Passo 2

Para calcular a norma usamos a fórmula
\|u\| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}.
Aqui u_1=2 e u_2=-3, logo
\|u\| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}.

Passo 3

O vetor unitário na direção de u é dado por
\frac{u}{\|u\|} = \Bigl(\frac{2}{\sqrt{13}}, -\frac{3}{\sqrt{13}}\Bigr).

Passo 4

Para obter um vetor na direção de u com norma 2, basta escalar o vetor unitário por 2:
2 \cdot \frac{u}{\|u\|} = \Bigl(2\cdot\frac{2}{\sqrt{13}},\,2\cdot\bigl(-\frac{3}{\sqrt{13}}\bigr)\Bigr) = \Bigl(\frac{4}{\sqrt{13}}, -\frac{6}{\sqrt{13}}\Bigr).

Passo 5

Calculamos a norma do vetor \bigl(\tfrac{4}{\sqrt{13}},-\tfrac{6}{\sqrt{13}}\bigr) para conferir:
\sqrt{\Bigl(\frac{4}{\sqrt{13}}\Bigr)^2 + \Bigl(-\frac{6}{\sqrt{13}}\Bigr)^2} = \sqrt{\frac{16+36}{13}} = \sqrt{\frac{52}{13}} = \sqrt{4} = 2.

Resposta

(a) \sqrt{13}
(b) \bigl(\frac{2}{\sqrt{13}},-\frac{3}{\sqrt{13}}\bigr)
(c) \bigl(\frac{4}{\sqrt{13}},-\frac{6}{\sqrt{13}}\bigr)
(d) 2

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