Considere os vetores u=(1,2,3) e v=(2,3,1) de \mathbf{R}^{3}.
(a) Escreva w=(1,3,8) como uma combinação linear de u e v.
(b) Escreva w=(2,4,5) como uma combinação linear de u e v.
(c) Encontre k de tal modo que w=(1, k, 4) seja uma combinação linear de u e v.
(d) Encontre condições sobre a, b, \mathrm{c} tais que w=(a, b, c) seja uma combinação linear de u e v.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \,u=(1,2,3) e v=(2,3,1) em \mathbf{R}^3
e pede, para vários w, escrever
w = x\,u + y\,v,
isto é, resolver o sistema de duas incógnitas x,y obtido ao comparar componentes.

Passo 2

Se w=(a,b,c), as componentes dão o sistema
\begin{cases} x + 2y = a,\\\\ 2x + 3y = b,\\\\ 3x + y = c. \end{cases}

Passo 3

Das duas primeiras equações resolvemos para x,y.
Da primeira vem x = a - 2y. Substituindo na segunda:
2(a-2y) + 3y = b \;\Longrightarrow\; 2a -4y +3y = b \;\Longrightarrow\; y = 2a - b.
Então
x = a - 2y = a -2(2a - b) = 2b - 3a.

Passo 4

Para que haja solução, a terceira equação deve ser compatível:
3x + y = c \;\Longrightarrow\; 3(2b -3a) + (2a - b) = c \;\Longrightarrow\; 6b -9a +2a -b = c \;\Longrightarrow\; c = 5b -7a.
Logo (a,b,c) pertence ao span \{u,v\} se, e somente se, c=5b-7a.

Passo 5

(a) Para w=(1,3,8) temos a=1, b=3, c=8. Verificamos 8 = 5\cdot3 -7\cdot1, então existe, com
x = 2b-3a = 6-3 = 3,\quad y = 2a-b = 2-3 = -1.
(b) Para w=(2,4,5) temos a=2, b=4, c=5. Mas 5b-7a = 20-14=6 \neq 5, logo não há solução.
(c) Para w=(1,k,4) impomos 4 = 5k -7, daí 5k =11 e
k = \frac{11}{5}.
(d) Em geral, w=(a,b,c) é combinação linear de u,v sse
c = 5b - 7a.

Resposta

(a) w = 3u - v.
(b) Não existe combinação linear (sem solução).
(c) k = \tfrac{11}{5}.
(d) Condição para w=(a,b,c) estar no span \{u,v\}:
c = 5b -7a.

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