Suponha que \mathcal{A}=\left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\} é um conjunto de vetores ortogonais em \mathbb{R}^{4} e que u u_{4} não está no espaço gerado por \mathcal{A}. Encontre uma base de ortogonal de \mathbb{R}^{4} usando os vetores u_{1}, u_{2}, u_{3} e u_{4}.
Solução
Seja \mathcal{O}=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right\}. Vamos usar o algoritmo de Gram-Schmidt (G-S)
v_{1}=u_{1}
v_{2}=u_{2}-\left(\frac{u_{2} \cdot v_{1}}{v_{1} \cdot v_{1}}\right) v_{1}=u_{2}
v_{3}=u_{3}-\left(\frac{u_{3} \cdot v_{1}}{v_{1} \cdot v_{1}}\right) v_{1}-\left(\frac{u_{3} \cdot v_{2}}{v_{2} \cdot v_{2}}\right) v_{2}=u_{3}
v_{4}=u_{4}-\left(\frac{u_{4} \cdot v_{1}}{v_{1} \cdot v_{1}}\right) v_{1}-\left(\frac{u_{4} \cdot v_{2}}{v_{2} \cdot v_{2}}\right) v_{2}-\left(\frac{u_{4} \cdot v_{3}}{v_{3} \cdot v_{3}}\right) v_{3}
Conclusão:
\mathcal{O}=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}, u_{4}-\left(\frac{u_{4} \cdot v_{1}}{v_{1} \cdot v_{1}}\right) v_{1}-\left(\frac{u_{4} \cdot v_{2}}{v_{2} \cdot v_{2}}\right) v_{2}-\left(\frac{u_{4} \cdot v_{3}}{v_{3} \cdot v_{3}}\right) v_{3}\right\}
é uma base ortogonal de \mathbb{R}^{4}.

Passo 1

O enunciado diz que temos três vetores \{u_{1},u_{2},u_{3}\} ortogonais em \mathbb{R}^{4} e um vetor u_{4} que não está no espaço gerado por esses três. O objetivo é construir uma base ortogonal de \mathbb{R}^{4} usando Gram–Schmidt sobre \bigl\{u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}\bigr\}.

Passo 2

Definimos
v_{1} = u_{1}.
Esse é o primeiro vetor da nossa nova base ortogonal.

Passo 3

Para obter v_{2} removemos de u_{2} a componente na direção de v_{1}:
v_{2} = u_{2} \;-\;\frac{u_{2}\cdot v_{1}}{v_{1}\cdot v_{1}}\,v_{1}.
Como u_{2} já é ortogonal a u_{1}=v_{1}, temos u_{2}\cdot v_{1}=0 e, portanto,
v_{2}=u_{2}.

Passo 4

Analogamente, para v_{3} subtraímos as projeções de u_{3} sobre v_{1} e v_{2}:
v_{3} = u_{3} -\frac{u_{3}\cdot v_{1}}{v_{1}\cdot v_{1}}\,v_{1} -\frac{u_{3}\cdot v_{2}}{v_{2}\cdot v_{2}}\,v_{2}.
Como u_{3} é ortogonal a u_{1} e a u_{2}, todas essas projeções são zero e então
v_{3}=u_{3}.

Passo 5

Para o quarto vetor v_{4} projetamos u_{4} sobre cada um de v_{1},v_{2},v_{3} e subtraímos:
v_{4} = u_{4} -\frac{u_{4}\cdot v_{1}}{v_{1}\cdot v_{1}}\,v_{1} -\frac{u_{4}\cdot v_{2}}{v_{2}\cdot v_{2}}\,v_{2} -\frac{u_{4}\cdot v_{3}}{v_{3}\cdot v_{3}}\,v_{3}.
Como u_{4} não está no span de \{u_{1},u_{2},u_{3}\}, esse v_{4} não é o vetor zero.

Passo 6

Os vetores \{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\} são mutuamente ortogonais por construção e, como têm quatro vetores independentemente lineares em \mathbb{R}^{4}, formam uma base ortogonal.

Resposta

\bigl\{\,u_{1},\;u_{2},\;u_{3},\;u_{4} -\frac{u_{4}\cdot u_{1}}{u_{1}\cdot u_{1}}\,u_{1} -\frac{u_{4}\cdot u_{2}}{u_{2}\cdot u_{2}}\,u_{2} -\frac{u_{4}\cdot u_{3}}{u_{3}\cdot u_{3}}\,u_{3}\bigr\}
é uma base ortogonal de \mathbb{R}^{4}.

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