Suponha que
é um conjunto de vetores ortogonais em
e que u
não está no espaço gerado por
. Encontre uma base de ortogonal de
usando os vetores
e
.
Solução
Seja
. Vamos usar o algoritmo de Gram-Schmidt (G-S)
Conclusão:
é uma base ortogonal de
.
Seja
Conclusão:
Passo 1
O enunciado diz que temos três vetores
ortogonais em
e um vetor
que não está no espaço gerado por esses três. O objetivo é construir uma base ortogonal de
usando Gram–Schmidt sobre
.
Passo 2
Definimos
Esse é o primeiro vetor da nossa nova base ortogonal.
Passo 3
Para obter
removemos de
a componente na direção de
:
Como
já é ortogonal a
, temos
e, portanto,
Passo 4
Analogamente, para
subtraímos as projeções de
sobre
e
:
Como
é ortogonal a
e a
, todas essas projeções são zero e então
Passo 5
Para o quarto vetor
projetamos
sobre cada um de
e subtraímos:
Como
não está no span de
, esse
não é o vetor zero.
Passo 6
Os vetores
são mutuamente ortogonais por construção e, como têm quatro vetores independentemente lineares em
, formam uma base ortogonal.
Resposta
é uma base ortogonal de
.