Considere os vetores u=(1,2,1), v=(3,2,1) e w=(-3,2,7) em R^3. Obtenha números alpha, beta tais que w=alpha u+beta v. Quantas soluções admite este problema?

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(1,2,1), v=(3,2,1) e w=(-3,2,7) em R^3 e pede números alpha,beta tais que
w=alpha u+beta v
Isso é um problema de combinação linear: precisamos verificar se w pertence ao subespaço gerado por u e v (isto é, ao span u,v) e, em caso afirmativo, encontrar alpha e beta.

Passo 2

Escrevendo a combinação componente a componente, temos
(,-3,,2,,7,) =alpha,(1,2,1)+beta,(3,2,1) =(alpha+3beta,;2alpha+2beta,;alpha+beta)
Isto gera o sistema de três equações em duas incógnitas alpha,beta.

Passo 3

O sistema é
alpha + 3beta = -3, 2alpha + 2beta = 2, alpha + beta = 7

Passo 4

Das duas últimas equações, da terceira temos alpha = 7 - beta. Substituindo na primeira:
7-beta +3beta = -3 Longrightarrow 2beta = -10 Longrightarrow beta=-5,
logo alpha = 7 - (-5)=12.

Passo 5

Verificando na segunda equação:
2alpha+2beta = 2cdot 12 + 2cdot(-5) = 24 -10 = 14 neq 2,
há inconsistência. Portanto não existe par (alpha,beta) que satisfaça todas as três equações simultaneamente.

Resposta

Não existe solução; o problema admite 0 soluções.

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