Com dois vetores do
como geramos outros vetores desse espaço?
Passo 1
O enunciado pergunta como, a partir de dois vetores em
, podemos gerar novos vetores desse espaço. O conteúdo envolve combinação linear, subespaços gerados (span) e, caso queiramos alcançar todo
, extensão de base.
Passo 2
Para gerar vetores a partir de dois vetores
e
, usamos combinação linear: qualquer vetor
no subespaço gerado por eles pode ser escrito como
onde
.
Passo 3
O conjunto de todos esses vetores forma o subespaço
Se
e
são linearmente independentes, esse subespaço é um plano em
. Se forem colineares, gera apenas uma reta.
Passo 4
Para gerar todo o espaço
, precisamos de três vetores linearmente independentes. A partir de
e
(não colineares), podemos obter um terceiro vetor
que é ortogonal a ambos e, portanto, linearmente independente de
e
.
Passo 5
Com o trio
formamos uma base de
. Assim, qualquer vetor
escreve-se como combinação linear desses três:
com
.
Resposta
- Com dois vetores
, geramos novos vetores pelo conjunto
- Para gerar todo
, acrescentamos o vetor e usamos combinações lineares de e .