Com dois vetores do R^3 como geramos outros vetores desse espaço?

Passo 1

O enunciado pergunta como, a partir de dois vetores em R^3, podemos gerar novos vetores desse espaço. O conteúdo envolve combinação linear, subespaços gerados (span) e, caso queiramos alcançar todo R^3, extensão de base.

Passo 2

Para gerar vetores a partir de dois vetores u e v, usamos combinação linear: qualquer vetor w no subespaço gerado por eles pode ser escrito como
w=a,u+b,v,
onde a,binR.

Passo 3

O conjunto de todos esses vetores forma o subespaço
Spanu,v=a,u+b,vmid a,binR
Se u e v são linearmente independentes, esse subespaço é um plano em R^3. Se forem colineares, gera apenas uma reta.

Passo 4

Para gerar todo o espaço R^3, precisamos de três vetores linearmente independentes. A partir de u e v (não colineares), podemos obter um terceiro vetor
w=utimesv,
que é ortogonal a ambos e, portanto, linearmente independente de u e v.

Passo 5

Com o trio u,v,utimesv formamos uma base de R^3. Assim, qualquer vetor xinR^3 escreve-se como combinação linear desses três:
x=a,u+b,v+c,(utimesv),
com a,b,cinR.

Resposta

  1. Com dois vetores u,v, geramos novos vetores pelo conjunto
Spanu,v=a,u+b,vmid a,binR
  1. Para gerar todo R^3, acrescentamos o vetor utimesv e usamos combinações lineares de u,,v e utimesv.

Exercícios relacionados