Sejam v1, v2, v3 os vetores linhas e w1, w2, w3 os vetores colunas da matriz A=[lll1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9]. Verifique as relações v1=2 v2-v3, w1=2 w2-w3. Exprima w1 e w2 como combinações lineares de v1 e v2 e vice-versa.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 ,
cujo espaço de linhas é gerado por
v1=(1,2,3), v2=(4,5,6), v3=(7,8,9)
e o espaço de colunas é gerado por
w1=(1,4,7)^T, w2=(2,5,8)^T, w3=(3,6,9)^T.
Precisamos verificar as relações lineares
v1=2v2-v3 e w1=2w2-w3
e então expressar
w1,w2 como combinações lineares de v1,v2
e vice-versa.

Passo 2

Verificamos
2,v2-v3 =2,(4,5,6)-(7,8,9) =(8,10,12)-(7,8,9)=(1,2,3)=v1,
e
2,w2-w3 =2,(2,5,8)^T-(3,6,9)^T =(4,10,16)^T-(3,6,9)^T=(1,4,7)^T=w1
Portanto as duas relações estão corretas.

Passo 3

Para escrever
isto é
cuja solução é . Logo
De modo semelhante, para resolvemos
obtendo , . Assim

Passo 4

Para expressar
ou seja
com solução . Logo
Para resolvemos
obtendo , . Assim

Resposta

w1 = 113 v1 - 23 v2, w2 = 103 v1 - 13 v2,
v1 = -13 w1 + 23 w2, v2 = -103 w1 + 113 w2

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