Demonstre as seguintes identidades vetoriais (use as anteriores para provar as seguintes):
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa identidade vetorial juntos! O enunciado pede para mostrar que
. Para isso, vamos usar conceitos de produtos vetoriais e algumas identidades vetoriais importantes, como a regra do BAC-CAB. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da regra do BAC-CAB, que diz que para vetores
,
e
:
Vamos aplicar essa regra ao nosso caso, onde
e
.
Passo 3
Aplicando a regra do BAC-CAB:
Mas percebemos que o segundo termo envolve o produto escalar de um vetor com ele mesmo cruzado com outro, o que é zero, já que o produto escalar de vetores ortogonais é zero. Assim, o termo simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos utilizar uma outra identidade vetorial que relaciona produtos escalar e vetorial. Sabemos que:
Essa é a propriedade do produto misto. Aplicando isso ao nosso caso:
Lembrando que
, temos:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão anterior:
Isso mostra que a identidade vetorial dada é válida.
Resposta
Portanto, demonstramos que
.