Demonstre as seguintes identidades vetoriais (use as anteriores para provar as seguintes):
(a times b) times(a times c)=(a cdot b times c) a,

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa identidade vetorial juntos! O enunciado pede para mostrar que (a times b) times (a times c) = (a cdot b times c) a. Para isso, vamos usar conceitos de produtos vetoriais e algumas identidades vetoriais importantes, como a regra do BAC-CAB. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra do BAC-CAB, que diz que para vetores u, v e w:
(u times v) times w = v (u cdot w) - u (v cdot w)
Vamos aplicar essa regra ao nosso caso, onde u = a times b e v = a times c.

Passo 3

Aplicando a regra do BAC-CAB:
(a times b) times (a times c) = (a times c) cdot (a times b) a - (a times b) (a times c) cdot a
Mas percebemos que o segundo termo envolve o produto escalar de um vetor com ele mesmo cruzado com outro, o que é zero, já que o produto escalar de vetores ortogonais é zero. Assim, o termo simplifica para:
(a times c) cdot (a times b) a

Passo 4

Agora, vamos utilizar uma outra identidade vetorial que relaciona produtos escalar e vetorial. Sabemos que:
(a times b) cdot c = a cdot (b times c)
Essa é a propriedade do produto misto. Aplicando isso ao nosso caso:
(a times c) cdot (a times b) = a cdot (c times b)
Lembrando que c times b = - (b times c), temos:
a cdot (c times b) = - a cdot (b times c)

Passo 5

Substituindo de volta na expressão anterior:
(a times b) times (a times c) = (a cdot (b times c)) a
Isso mostra que a identidade vetorial dada é válida.

Resposta

Portanto, demonstramos que (a times b) times (a times c) = (a cdot b times c) a.

Exercícios relacionados