Considere os vetores unitários e ortogonais \vec{u} e \vec{v}. Determine o módulo (tamanho) do vetor (\vec{u}+\vec{v}) \times(\vec{u}-\vec{v}).

Passo 1

O enunciado diz que \vec u e \vec v são vetores unitários \|\vec u\|=\|\vec v\|=1 e ortogonais \vec u\cdot\vec v=0. Precisamos achar o módulo do vetor
(\vec u+\vec v)\times(\vec u-\vec v).
Para isso vamos usar as propriedades do produto vetorial: bilinearidade, anticomutatividade \vec a\times\vec b=-\vec b\times\vec a e o fato de \vec a\times\vec a=\vec 0.

Passo 2

Expandindo pelo distributivo do produto vetorial, temos
(\vec u+\vec v)\times(\vec u-\vec v) =\vec u\times\vec u\;-\;\vec u\times\vec v\;+\;\vec v\times\vec u\;-\;\vec v\times\vec v.
Como \vec a\times\vec a=\vec 0, os dois termos com produto do mesmo vetor somam zero. Além disso, \vec v\times\vec u=-\,\vec u\times\vec v. Logo
(\vec u+\vec v)\times(\vec u-\vec v) = -\,\vec u\times\vec v -\,\vec u\times\vec v = -2\,(\vec u\times\vec v).

Passo 3

O módulo do produto vetorial \vec u\times\vec v é
\|\vec u\times\vec v\| =\|\vec u\|\,\|\vec v\|\;\bigl|\sin\theta\bigr| =1\cdot1\cdot\bigl|\sin90^\circ\bigr| =1.
Portanto
\|(\vec u+\vec v)\times(\vec u-\vec v)\| =\|-2\,(\vec u\times\vec v)\| =2\,\|\vec u\times\vec v\| =2\cdot1 =2.

Resposta

O módulo de (\vec u+\vec v)\times(\vec u-\vec v) é 2.

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