Considere os vetores v=2 i-j+k, w=i+2 j-2 k \in R^{3},
a) Calcule o ángulo entre v e w, em graus com precisão de uma casa decimal.
b) Determine se v e w são vetores linearmente independentes.
c) Determine se u=(1,0,1) pertence ao subespaço gerado por v e w.
d) Determine dois vetores x, y \in \mathbb{R}^{3} tais que v=x+y, y \perp w e x \| w.
e) Calcule o ângulo entre v e y, em graus com precisão de uma casa decimal.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
v=(2,-1,1),\quad w=(1,2,-2)
em \mathbb{R}^3 e pede:
a) o ângulo entre v e w;
b) verificar se são linearmente independentes;
c) dizer se u=(1,0,1) está em \mathrm{Span}\{v,w\};
d) achar x,y tais que v=x+y, com x\parallel w e y\perp w;
e) o ângulo entre v e y.
Para isso usaremos produto escalar, norma, condição de independência, sistema linear e fórmula de projeção ortogonal.
Passo 2
Cálculo do ângulo entre v e w:
o produto escalar é
v\cdot w = 2\cdot1 + (-1)\cdot2 + 1\cdot(-2) = -2,