Considere os vetores v=2 i-j+k, w=i+2 j-2 k \in R^{3},
a) Calcule o ángulo entre v e w, em graus com precisão de uma casa decimal.
b) Determine se v e w são vetores linearmente independentes.
c) Determine se u=(1,0,1) pertence ao subespaço gerado por v e w.
d) Determine dois vetores x, y \in \mathbb{R}^{3} tais que v=x+y, y \perp w e x \| w.
e) Calcule o ângulo entre v e y, em graus com precisão de uma casa decimal.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
v=(2,-1,1),\quad w=(1,2,-2)
em \mathbb{R}^3 e pede:
a) o ângulo entre v e w;
b) verificar se são linearmente independentes;
c) dizer se u=(1,0,1) está em \mathrm{Span}\{v,w\};
d) achar x,y tais que v=x+y, com x\parallel w e y\perp w;
e) o ângulo entre v e y.
Para isso usaremos produto escalar, norma, condição de independência, sistema linear e fórmula de projeção ortogonal.

Passo 2

Cálculo do ângulo entre v e w:
o produto escalar é
v\cdot w = 2\cdot1 + (-1)\cdot2 + 1\cdot(-2) = -2,
as normas são
\|v\| = \sqrt{2^2+(-1)^2+1^2} = \sqrt{6}, \quad \|w\| = \sqrt{1^2+2^2+(-2)^2} = 3.
Então
\cos\theta = \frac{v\cdot w}{\|v\|\|w\|} = \frac{-2}{3\sqrt{6}}\approx -0{,}2722
e
\theta = \operatorname{arccos}(-0{,}2722)\approx 105{,}8^\circ.

Passo 3

Para checar se v e w são linearmente independentes basta ver se existe \lambda tal que v=\lambda w.
Comparando coordenadas teríamos
2=\lambda\cdot1,\quad -1=\lambda\cdot2,
o que leva a \lambda=2 e \lambda=-\tfrac12, impossível.
Logo são linearmente independentes.

Passo 4

Verificar se u=(1,0,1)\) pertence a \(\mathrm{Span}\{v,w\}\). Procuramos \(a,b\) tais que \[a\,v + b\,w = (1,0,1).
Isto é o sistema
\begin{cases} 2a + b = 1,\\\\ -\,a + 2b = 0,\\\ \;a - 2b = 1. \end{cases}
Das duas primeiras equações obtemos a=\tfrac{2}{5}\], \(b=\tfrac{1}{5}, mas isso falha na terceira (ficaria 0=1).
Portanto u\notin\mathrm{Span}\{v,w\}.

Passo 5

Decomposição v=x+y com x\parallel w e y\perp w.
A projeção de v em w é
x = \mathrm{proj}_{w}v = \frac{v\cdot w}{w\cdot w}\,w = \frac{-2}{9}\,(1,2,-2) = \bigl(-\tfrac{2}{9},-\tfrac{4}{9},\tfrac{4}{9}\bigr).
Então
y = v - x = \Bigl(2 + \tfrac{2}{9},\, -1 + \tfrac{4}{9},\,1 - \tfrac{4}{9}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{20}{9},-\tfrac{5}{9},\tfrac{5}{9}\Bigr),
e de fato y\cdot w=0.

Passo 6

Ângulo entre v e y:
v\cdot y = 2\cdot\tfrac{20}{9} + (-1)\cdot\bigl(-\tfrac{5}{9}\bigr) + 1\cdot\tfrac{5}{9} = \frac{50}{9},
\|y\| = \sqrt{\bigl(\tfrac{20}{9}\bigr)^2 + \bigl(-\tfrac{5}{9}\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{5}{9}\bigr)^2} = \frac{5\sqrt{2}}{3}.
Assim
\cos\varphi = \frac{v\cdot y}{\|v\|\|y\|} = \frac{\tfrac{50}{9}}{\sqrt{6}\,\tfrac{5\sqrt2}{3}} = \frac{5\sqrt3}{9}\approx 0{,}9622
e
\varphi = \operatorname{arccos}(0{,}9622)\approx 15{,}8^\circ.

Resposta

a) 105{,}8^\circ
b) Sim, são linearmente independentes.
c) Não, u\notin\mathrm{Span}\{v,w\}.
d)
x = \bigl(-\tfrac{2}{9},-\tfrac{4}{9},\tfrac{4}{9}\bigr), \quad y = \bigl(\tfrac{20}{9},-\tfrac{5}{9},\tfrac{5}{9}\bigr).
e) 15{,}8^\circ

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