É verdade que, se V é um espaço vetorial e V_{1} e V_{2} são subespaços de V, então V_{1} \cup V_{2} também é um subespaço de V ? Se for verdade, prove. Se for mentira, exiba um contra-exemplo.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dado um espaço vetorial V e subespaços V_{1} e V_{2}, a união V_{1}\cup V_{2} é necessariamente um subespaço de V. Vamos usar o critério de subespaço (fechamento sob soma e multiplicação escalar) para responder.

Passo 2

Lembramos que um subconjunto W\subseteq V é subespaço se, e somente se:
  1. 0\in W.
  2. Para quaisquer u,v\in W, temos u+v\in W.
  3. Para qualquer escalar \lambda e qualquer u\in W, temos \lambda u\in W.
Para verificar se V_{1}\cup V_{2} é subespaço, bastaria mostrar que uma dessas propriedades falha.

Passo 3

Escolhemos o exemplo clássico em V=\mathbb{R}^{2}. Definimos
V_{1}=\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\},\quad V_{2}=\{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\}.
Ambos são subespaços de \mathbb{R}^{2} (eixos x e y). Então
V_{1}\cup V_{2}=\{(x,0)\}\cup\{(0,y)\}.

Passo 4

Tomemos
u=(1,0)\in V_{1}\subseteq V_{1}\cup V_{2},
v=(0,1)\in V_{2}\subseteq V_{1}\cup V_{2}.
Então u,v\in V_{1}\cup V_{2}. Mas
u+v=(1,1)\notin V_{1}\cup V_{2},
pois (1,1) não pertence nem ao eixo x nem ao eixo y. Logo V_{1}\cup V_{2} não é fechado sob soma e, portanto, não é subespaço.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é V=\mathbb{R}^{2}, \;V_{1}=\{(x,0)\}, \;V_{2}=\{(0,y)\},
pois (1,0),(0,1)\in V_{1}\cup V_{2} mas (1,1)\notin V_{1}\cup V_{2}.

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