É verdade que, se
é um espaço vetorial e
e
são subespaços de
, então
também é um subespaço de
? Se for verdade, prove. Se for mentira, exiba um contra-exemplo.
Passo 1
O enunciado pergunta se, dado um espaço vetorial
e subespaços
e
, a união
é necessariamente um subespaço de
. Vamos usar o critério de subespaço (fechamento sob soma e multiplicação escalar) para responder.
Passo 2
Lembramos que um subconjunto
é subespaço se, e somente se:
-
. - Para quaisquer
, temos . - Para qualquer escalar
e qualquer , temos .
Para verificar se
é subespaço, bastaria mostrar que uma dessas propriedades falha.
Passo 3
Escolhemos o exemplo clássico em
. Definimos
Ambos são subespaços de
(eixos
e
). Então
Passo 4
Tomemos
Então
. Mas
pois
não pertence nem ao eixo
nem ao eixo
. Logo
não é fechado sob soma e, portanto, não é subespaço.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é
,
,
,
pois mas
.
pois