Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo \mathbb{R}^{n}.
S=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-z=0\right. e \left.y-t=0\right\} \subset \mathbb{R}^{4}

Passo 1

O enunciado nos pede para determinar se
S = \{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid x - z = 0 \text{ e } y - t = 0\}
é um subespaço de \mathbb{R}^4. O conteúdo aqui é reconhecimento de subespaço vetorial: devemos verificar três propriedades fundamentais – presença do vetor zero, fechamento em soma e fechamento em multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0,0) pertence a S. Para (0,0,0,0) temos
0 - 0 = 0 \quad\text{e}\quad 0 - 0 = 0,
logo (0,0,0,0)\in S.

Passo 3

Verificamos o fechamento em relação à soma. Sejam (x_1,y_1,z_1,t_1) e (x_2,y_2,z_2,t_2) em S, então
x_1 - z_1 = 0,\quad y_1 - t_1 = 0,
x_2 - z_2 = 0,\quad y_2 - t_2 = 0.
Somando componente a componente obtemos
(x_1 + x_2) - (z_1 + z_2) = (x_1 - z_1) + (x_2 - z_2) = 0 + 0 = 0,
(y_1 + y_2) - (t_1 + t_2) = (y_1 - t_1) + (y_2 - t_2) = 0 + 0 = 0.
Logo (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2, t_1 + t_2)\in S.

Passo 4

Verificamos o fechamento em relação à multiplicação escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e (x,y,z,t)\in S, com x - z = 0 e y - t = 0. Então
(\alpha x) - (\alpha z) = \alpha\,(x - z) = \alpha\cdot 0 = 0,
(\alpha y) - (\alpha t) = \alpha\,(y - t) = \alpha\cdot 0 = 0.
Portanto (\alpha x,\alpha y,\alpha z,\alpha t)\in S.

Resposta

S é um subespaço de \mathbb{R}^4.

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