Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo \mathbb{R}^{n}.
U=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-z=0\right. ou \left.y-t=0\right\} \subset \mathbb{R}^{4}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se U=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid x-z=0\text{ ou }y-t=0\}
é subespaço de \mathbb{R}^4.
Para isso, vamos usar o critério de subespaço:
  1. o vetor zero deve pertencer a U,
  2. U deve ser fechado sob adição,
  3. U deve ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos o vetor zero (0,0,0,0).
Como 0-0=0 e também 0-0=0, ele satisfaz ambas as condições e, em particular, satisfaz “ou”, logo (0,0,0,0)\in U.

Passo 3

Testamos a adição.
Escolhemos
p=(1,2,1,3),\quad q=(2,3,1,3).
Para p: x-z=1-1=0, então p\in U.
Para q: y-t=3-3=0, então q\in U.
Mas
p+q=(1+2,\,2+3,\,1+1,\,3+3)=(3,5,2,6).
Nesse somatório temos x-z=3-2=1\neq0 e y-t=5-6=-1\neq0,
portanto p+q\notin U.
Isso mostra que U não é fechado sob adição.

Passo 4

Não é necessário checar a multiplicação escalar, pois já falhamos na adição.
Basta uma falha para concluir que U não é subespaço.

Resposta

U não é subespaço de \mathbb{R}^4.)

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