Questão 1.5
Considere os vetores v=i-2 j+3 k, w=2 i+j-k \in \mathbb{R}^{3}.
a) Calcule o ângulo entre v e w em graus com precisão de uma casa decimal.
b) Determine se v e w são vetores linearmente independentes.
c) Verifique se u=(0,2,1) pertence ao subespaço gerado por v e w.
d) Encontre vetores x, y \in \mathbb{R}^{3} tais que \mathrm{v}=\mathrm{x}+\mathrm{y}, \mathrm{y} \perp \mathrm{wex} \| \mathrm{w}.
e) Calcule o ângulo entre x e y em graus com precisão de uma casa decimal.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
v = i - 2j + 3k = (1,-2,3), \qquad w = 2i + j - k = (2,1,-1),
e pede cinco coisas:
a) Calcular o ângulo entre v e w (em graus, uma casa decimal).
b) Dizer se v e w são linearmente independentes.
c) Verificar se u=(0,2,1) pertence ao subespaço gerado por v e w (ou seja, se u\in\text{span}\{v,w\}).
d) Encontrar vetores x,y\in\mathbb{R}^3 tais que v=x+y, com y\perp w e x\parallel w.
e) Calcular o ângulo entre x e y (em graus, uma casa decimal).
Passo 2
Vou começar pela parte (a). Primeiro, lembrando a definição do produto escalar (dot product) em \mathbb{R}^3: se a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3), então
a\cdot b = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Esse produto é a ferramenta chave para achar ângulo. Calculo v\cdot w:
Faço a conta numérica para obter o ângulo em graus. Primeiro o cosseno aproximado:
\cos\theta \approx -0,327326835.
Agora uso \theta=\operatorname{arccos}(\cos\theta) e converto para graus. Isso dá
\theta \approx 109,1^\circ
(arredondado para uma casa decimal). Então respondi (a).
Passo 5
Parte (b): teoria breve sobre independência linear. Dois vetores v e w em \mathbb{R}^3 são linearmente dependentes exatamente quando um é múltiplo escalar do outro (ou seja, quando são colineares). Para verificar isso eu comparo coordenadas: se existisse \lambda tal que v=\lambda w, então deveríamos ter
Essas três equações dariam \lambda = 1/2 pela primeira, \lambda=-2 pela segunda e \lambda=-3 pela terceira — claramente impossível (os valores não coincidem). Logo v não é múltiplo de w, portanto v e w são linearmente independentes.
Passo 6
Parte (c): para checar se u pertence a \text{span}\{v,w\}, procuro escalares a,b tais que
a v + b w = u.
Escrevendo coordenada a coordenada, com v=(1,-2,3), w=(2,1,-1) e u=(0,2,1), obtenho o sistema linear
\begin{cases} a + 2b = 0,\\\\ -2a + b = 2,\\\\ 3a - b = 1. \end{cases}
Passo 7
Resolvo o sistema usando as duas primeiras equações. Da primeira vem a = -2b. Substituo na segunda:
-2(-2b) + b = 2 \quad\Rightarrow\quad 4b + b = 2 \quad\Rightarrow\quad 5b = 2 \quad\Rightarrow\quad b=\tfrac{2}{5}.
Então a = -2b = -\tfrac{4}{5}. Agora verifico a terceira equação:
que não é igual a 1. Portanto as três equações são inconsistentes: não existem a,b que satisfaçam todas. Conclusão: u não pertence a \text{span}\{v,w\}.
Passo 8
Parte (d): queremos decompor v em v=x+y com x\parallel w e y\perp w. A maneira padrão e eficiente é tomar x como a projeção de v sobre w. A fórmula da projeção de v em w é
Portanto x e y são ortogonais, e o ângulo entre eles é
\varphi = 90^\circ.
Em notação com uma casa decimal: \,90,0^\circ.
Resposta
(a) \;109,1^\circ
(b) v e w são linearmente independentes.
(c) u não pertence a \text{span}\{v,w\}.
(d) \;x = \bigl(-1,-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\bigr),\quad y = \bigl(2,-\tfrac{3}{2},\tfrac{5}{2}\bigr).
(e) \;90,0^\circ