Questão 1.5
Considere os vetores v=i-2 j+3 k, w=2 i+j-k \in \mathbb{R}^{3}.
a) Calcule o ângulo entre v e w em graus com precisão de uma casa decimal.
b) Determine se v e w são vetores linearmente independentes.
c) Verifique se u=(0,2,1) pertence ao subespaço gerado por v e w.
d) Encontre vetores x, y \in \mathbb{R}^{3} tais que \mathrm{v}=\mathrm{x}+\mathrm{y}, \mathrm{y} \perp \mathrm{wex} \| \mathrm{w}.
e) Calcule o ângulo entre x e y em graus com precisão de uma casa decimal.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
v = i - 2j + 3k = (1,-2,3), \qquad w = 2i + j - k = (2,1,-1),
e pede cinco coisas:
a) Calcular o ângulo entre v e w (em graus, uma casa decimal).
b) Dizer se v e w são linearmente independentes.
c) Verificar se u=(0,2,1) pertence ao subespaço gerado por v e w (ou seja, se u\in\text{span}\{v,w\}).
d) Encontrar vetores x,y\in\mathbb{R}^3 tais que v=x+y, com y\perp w e x\parallel w.
e) Calcular o ângulo entre x e y (em graus, uma casa decimal).

Passo 2

Vou começar pela parte (a). Primeiro, lembrando a definição do produto escalar (dot product) em \mathbb{R}^3: se a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3), então
a\cdot b = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Esse produto é a ferramenta chave para achar ângulo. Calculo v\cdot w:
v\cdot w = 1\cdot 2 + (-2)\cdot 1 + 3\cdot(-1) = 2 - 2 - 3 = -3.

Passo 3

Agora preciso das normas (comprimentos) dos vetores. A norma de a=(a_1,a_2,a_3) é
\|a\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.
Calculo \|v\| e \|w\|:
\|v\| = \sqrt{1^2+(-2)^2+3^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}.
\|w\| = \sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}.

Passo 4

A fórmula que relaciona produto escalar e ângulo \theta entre v e w é
v\cdot w = \|v\|\,\|w\|\,\cos\theta.
Isolando \cos\theta:
\cos\theta = \frac{v\cdot w}{\|v\|\|w\|} = \frac{-3}{\sqrt{14}\,\sqrt{6}} = \frac{-3}{\sqrt{84}}.
Faço a conta numérica para obter o ângulo em graus. Primeiro o cosseno aproximado:
\cos\theta \approx -0,327326835.
Agora uso \theta=\operatorname{arccos}(\cos\theta) e converto para graus. Isso dá
\theta \approx 109,1^\circ
(arredondado para uma casa decimal). Então respondi (a).

Passo 5

Parte (b): teoria breve sobre independência linear. Dois vetores v e w em \mathbb{R}^3 são linearmente dependentes exatamente quando um é múltiplo escalar do outro (ou seja, quando são colineares). Para verificar isso eu comparo coordenadas: se existisse \lambda tal que v=\lambda w, então deveríamos ter
1 = \lambda\cdot 2,\qquad -2=\lambda\cdot 1,\qquad 3=\lambda\cdot(-1).
Essas três equações dariam \lambda = 1/2 pela primeira, \lambda=-2 pela segunda e \lambda=-3 pela terceira — claramente impossível (os valores não coincidem). Logo v não é múltiplo de w, portanto v e w são linearmente independentes.

Passo 6

Parte (c): para checar se u pertence a \text{span}\{v,w\}, procuro escalares a,b tais que
a v + b w = u.
Escrevendo coordenada a coordenada, com v=(1,-2,3), w=(2,1,-1) e u=(0,2,1), obtenho o sistema linear
\begin{cases} a + 2b = 0,\\\\ -2a + b = 2,\\\\ 3a - b = 1. \end{cases}

Passo 7

Resolvo o sistema usando as duas primeiras equações. Da primeira vem a = -2b. Substituo na segunda:
-2(-2b) + b = 2 \quad\Rightarrow\quad 4b + b = 2 \quad\Rightarrow\quad 5b = 2 \quad\Rightarrow\quad b=\tfrac{2}{5}.
Então a = -2b = -\tfrac{4}{5}. Agora verifico a terceira equação:
3a - b = 3\left(-\tfrac{4}{5}\right) - \tfrac{2}{5} = -\tfrac{12}{5} - \tfrac{2}{5} = -\tfrac{14}{5} = -2,8,
que não é igual a 1. Portanto as três equações são inconsistentes: não existem a,b que satisfaçam todas. Conclusão: u não pertence a \text{span}\{v,w\}.

Passo 8

Parte (d): queremos decompor v em v=x+y com x\parallel w e y\perp w. A maneira padrão e eficiente é tomar x como a projeção de v sobre w. A fórmula da projeção de v em w é
\operatorname{proj}_w(v) = \frac{v\cdot w}{w\cdot w}\,w.
Aqui w\cdot w=\|w\|^2=6 e v\cdot w=-3 (já calculados). Então o escalar é \dfrac{-3}{6}=-\tfrac{1}{2}. Assim
x = \operatorname{proj}_w(v) = -\tfrac{1}{2}w = -\tfrac{1}{2}(2,1,-1) = (-1,-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}).

Passo 9

Agora y é simplesmente v-x:
y = v - x = (1,-2,3) - \bigl(-1,-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\bigr) = (2,-\tfrac{3}{2},\tfrac{5}{2}).
Verifico que y\perp w computando o produto escalar:
y\cdot w = 2\cdot 2 + \left(-\tfrac{3}{2}\right)\cdot 1 + \tfrac{5}{2}\cdot(-1) = 4 - \tfrac{3}{2} - \tfrac{5}{2} = 4 - 4 = 0.
Logo y é ortogonal a w, e por construção x é paralelo a w, e v=x+y. Assim encontrei os vetores pedidos.

Passo 10

Parte (e): ângulo entre x e y. A fórmula geral é
\cos\varphi = \frac{x\cdot y}{\|x\|\|y\|}.
Mas como x é paralelo a w e y é ortogonal a w, temos x paralelo a w\Rightarrow x=\lambda w para algum \lambda, então
x\cdot y = \lambda (w\cdot y) = \lambda\cdot 0 = 0.
Portanto x e y são ortogonais, e o ângulo entre eles é
\varphi = 90^\circ.
Em notação com uma casa decimal: \,90,0^\circ.

Resposta

(a) \;109,1^\circ
(b) v e w são linearmente independentes.
(c) u não pertence a \text{span}\{v,w\}.
(d) \;x = \bigl(-1,-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\bigr),\quad y = \bigl(2,-\tfrac{3}{2},\tfrac{5}{2}\bigr).
(e) \;90,0^\circ

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