Considere os vetores v=(-1,1,0), u=(3,-2,0) e w=(2,2,-1) em \mathbb{R}^{3}.
a) Mostre os vetores v, u e w são L.I.
b) Escreva o vetor e=(1,1,1) como combinação linear dos vetores v, u e w.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
v = (-1,1,0),\quad u = (3,-2,0),\quad w = (2,2,-1)
em \mathbb{R}^3 e pede duas coisas:
Mostrar que v,u,w são linearmente independentes.
Expressar e=(1,1,1) como combinação linear de v,u,w.
Conteúdo: definição de independência linear e solução de sistemas lineares em \mathbb{R}^3.
Passo 2
Para mostrar que v,u,w\) são L.I. montamos a combinação linear nula
\[\alpha\,v + \beta\,u + \gamma\,w = (0,0,0)
Da terceira equação segue \gamma=0\]. Substituindo em cima:
\[\begin{cases} -\,\alpha + 3\beta = 0,\\\ \alpha - 2\beta = 0, \end{cases}\]
somando as duas equações vem \(\beta=0 e, então, \alpha=0. Como a única solução é trivial, v,u,w são L.I.
Passo 3
Para escrever e=(1,1,1)\) como combinação linear, buscamos escalares \(a,b,c\) tais que
\[a\,v + b\,u + c\,w = e,