Considere os vetores v=(-1,1,0), u=(3,-2,0) e w=(2,2,-1) em \mathbb{R}^{3}.
a) Mostre os vetores v, u e w são L.I.
b) Escreva o vetor e=(1,1,1) como combinação linear dos vetores v, u e w.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
v = (-1,1,0),\quad u = (3,-2,0),\quad w = (2,2,-1)
em \mathbb{R}^3 e pede duas coisas:
  1. Mostrar que v,u,w são linearmente independentes.
  2. Expressar e=(1,1,1) como combinação linear de v,u,w.
    Conteúdo: definição de independência linear e solução de sistemas lineares em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Para mostrar que v,u,w\) são L.I. montamos a combinação linear nula \[\alpha\,v + \beta\,u + \gamma\,w = (0,0,0)
que dá o sistema
\begin{cases} -\,\alpha + 3\beta + 2\gamma = 0,\\\ \alpha - 2\beta + 2\gamma = 0,\\\\ -\,\gamma = 0. \end{cases}
Da terceira equação segue \gamma=0\]. Substituindo em cima: \[\begin{cases} -\,\alpha + 3\beta = 0,\\\ \alpha - 2\beta = 0, \end{cases}\] somando as duas equações vem \(\beta=0 e, então, \alpha=0. Como a única solução é trivial, v,u,w são L.I.

Passo 3

Para escrever e=(1,1,1)\) como combinação linear, buscamos escalares \(a,b,c\) tais que \[a\,v + b\,u + c\,w = e,
isto é,
\begin{cases} -\,a + 3b + 2c = 1,\\\ a - 2b + 2c = 1,\\\\ -\,c = 1. \end{cases}
Da terceira equação vem c=-1\]. Substituindo em cima, \[\begin{cases} -\,a + 3b - 2 = 1 \;\Rightarrow\; -\,a + 3b = 3,\\\ a - 2b - 2 = 1 \;\Rightarrow\; a - 2b = 3. \end{cases}\] Somando essas duas dá \(b=6 e, então, a=15.

Resposta

a) Os vetores são linearmente independentes.
b) \displaystyle e = 15\,v + 6\,u - 1\,w.

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