Sejam
e
os subespaços de
gerados pelos vetores
e
, respectivamente. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado define dois subespaços de
:
e
.
Queremos mostrar que , ou seja:
Queremos mostrar que
-
. -
.
Usaremos definições de soma direta e representação de vetores.
Passo 2
Para ver que
, tome um vetor
em
. Então existem escalares
tais que
Escrevendo coordenadas:
Igualando componentes:
-
. -
. -
.
Da terceira vem. Então da segunda . Logo da primeira .
Assim, e segue .
Passo 3
Para mostrar
, pegamos um vetor arbitrário
e tentamos escrevê-lo como
Escreva
Queremos
Basta resolver:
Para quaisquer
essa solução existe e é única.
Passo 4
Como
e
, concluímos que