Sejam U e V os subespaços de \mathbb{R}^{3} gerados pelos vetores \{(2,0,0)\} e \{(1,1,0),(0,1,1)\}, respectivamente. Mostre que \mathbb{R}^{3}=U \oplus V.

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de \mathbb{R}^3: U=\Span\{(2,0,0)\} e V=\Span\{(1,1,0),(0,1,1)\}.
Queremos mostrar que \mathbb{R}^3=U\oplus V, ou seja:
  1. U\cap V=\{0\}.
  2. U+V=\mathbb{R}^3.
    Usaremos definições de soma direta e representação de vetores.

Passo 2

Para ver que U\cap V=\{0\}, tome um vetor w em U\cap V. Então existem escalares a,x,y tais que
w = a\,(2,0,0) \quad\text{e}\quad w = x\,(1,1,0) + y\,(0,1,1).
Escrevendo coordenadas:
(2a,0,0) = (x,\;x+y,\;y).
Igualando componentes:
  1. 2a = x.
  2. 0 = x + y.
  3. 0 = y.
    Da terceira vem y=0. Então da segunda x=0. Logo da primeira a=0.
    Assim w=0, e segue U\cap V=\{0\}.

Passo 3

Para mostrar U+V=\mathbb{R}^3, pegamos um vetor arbitrário (X_1,X_2,X_3)\in\mathbb{R}^3 e tentamos escrevê-lo como
u + v \quad\text{com}\quad u\in U,\;v\in V.
Escreva
u = a\,(2,0,0) = (2a,0,0), \quad v = x\,(1,1,0) + y\,(0,1,1) = (x,\;x+y,\;y).
Queremos
(2a + x,\;x+y,\;y) = (X_1,X_2,X_3).
Basta resolver:
y = X_3, \quad x + y = X_2 \implies x = X_2 - X_3, \quad 2a + x = X_1 \implies a = \frac{X_1 - x}{2} = \frac{X_1 - X_2 + X_3}{2}.
Para quaisquer X_1,X_2,X_3 essa solução existe e é única.

Passo 4

Como U\cap V=\{0\} e U+V=\mathbb{R}^3, concluímos que
\mathbb{R}^3 = U \oplus V.

Resposta

\mathbb{R}^3 = U \oplus V.

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