Mostre que o conjunto \mathcal{B}=\left\{1-x^{2},(1-x)^{2}, 1-x, 1\right\} é uma base para P_{3}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \mathcal{B}=\{\,1 - x^{2},\,(1 - x)^{2},\,1 - x,\,1\}
é uma base de P_{3}(\mathbb{R}), o espaço de todos os polinômios reais de grau <=3.
Lembrando que \dim P_{3}(\mathbb{R})=4, logo uma família de quatro vetores só é base se for LI (lin. ind.) e gerar todo P_{3}(\mathbb{R}).

Passo 2

Observe que todos os polinômios de \mathcal{B} têm grau <=2, pois
1 - x^{2},\quad (1 - x)^{2}=1 - 2x + x^{2},\quad 1 - x,\quad 1
não possuem termo em x^{3}.

Passo 3

Se tomarmos uma combinação linear genérica
c_{1}(1 - x^{2}) + c_{2}(1 - 2x + x^{2}) + c_{3}(1 - x) + c_{4}\cdot1 = 0
ela produz um polinômio cujo coeficiente de x^{3} é sempre zero.
Logo, não há escolha de c_{1},c_{2},c_{3},c_{4} que gere o monômio x^{3}.

Passo 4

Como não conseguimos obter um polinômio com termo x^{3}, a família \mathcal{B} não gera todo P_{3}(\mathbb{R}). Portanto \mathcal{B} não é base de P_{3}(\mathbb{R}).

Resposta

O conjunto \mathcal{B} não é uma base de P_{3}(\mathbb{R}), pois falha em gerar o termo x^{3}.

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