Resolva a seguinte equação diferencial
d yd x-3x y=x^4 y^1 / 3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
d yd x-3x,y = x^4,y^1/3
Isso é um caso da equação de Bernoulli, cujo formato geral é
d yd x + P(x),y = Q(x),y^n
Aqui vamos usar a transformação que torna essa equação numa equação linear de primeira ordem.

Passo 2

Identificamos em
d yd x-3x,y = x^4,y^1/3
que
P(x) = -3x, Q(x) = x^4, n = tfrac13
Para a equação de Bernoulli, definimos a nova variável
u = y^1 - n = y^1 - tfrac13 = y^2/3

Passo 3

Calculamos a derivada de u em função de y:
d ud x = 23,y^-1/3,d yd x
Substituindo tfracd yd x = tfrac3xy + x^4y^1/3 na expressão acima, obtemos
d ud x = 23,y^-1/3l(3xy + x^4y^1/3r) = 2x,y^2/3 + 23,x^4 = 2x,u + 23,x^4
Logo a equação em u é linear:
d ud x - 2x,u = 23,x^4

Passo 4

Para resolver
d ud x - 2x,u = 23,x^4,
calculamos o fator integrante
mu(x) = exp!l(integral -tfrac2x,dxr) = x^-2
Multiplicando a equação por x^-2
x^-2d ud x - 2,x^-3,u = 23,x^2,
que é
dd xl(x^-2ur) = 23,x^2
Integrando em x:
x^-2u = 23,x^33 + C = 29,x^3 + C
Multiplicando por x^2:
u = 29,x^5 + C,x^2

Passo 5

Voltando à variável original y, lembramos que u = y^2/3. Assim
y^2/3 = 29,x^5 + C,x^2,
logo a solução geral é
y(x) = l(tfrac29,x^5 + C,x^2r)^3/2,
onde C é a constante de integração.

Resposta

y(x) = l(tfrac29,x^5 + C,x^2r)^3/2

Exercícios relacionados