Considere os vetores:
V1=(1,1,0), V2=(0,1,1), V3=(4,-1,-5), V4=(0,5,5)
Seja A a matriz cujas colunas são os vetores acima, na ordem em que foram descritos.
Dimensão do espaço gerado por V2 e V3.
square

Passo 1

O enunciado dá os vetores
V2=(0,1,1), V3=(4,-1,-5)
e pede a dimensão do subespaço spanV2,V3. Para isso vamos usar o conceito de independência linear: se V2 e V3 são linearmente independentes, a dimensão do espaço gerado por eles é 2; caso contrário é 1.

Passo 2

Testamos a independência procurando escalares alpha,beta tais que
alpha V2 + beta V3 = (0,0,0)
Isto é,
alpha(0,1,1)+beta(4,-1,-5)=(0,0,0),
o que gera o sistema
4beta = 0, alpha - beta = 0, alpha - 5beta = 0

Passo 3

Da primeira equação vem beta=0. Substituindo em alpha-beta=0 obtemos alpha=0. Como a única solução é alpha=beta=0, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

A dimensão do espaço gerado por V2 e V3 é 2.

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