Considere os vetores:
V1=(1,1,0), V2=(0,1,1), V3=(4,-1,-5), V4=(0,5,5)
Seja A a matriz cujas colunas são os vetores acima, na ordem em que foram descritos.
Encontre uma base para o espaço solução A X=0.
Escreva as coordenadas dos vetores da base de forma que a primeira coordenada não nula seja igual a 1.
Preencha as lacunas com as coordenadas dos vetores encontrados:
(1, square , square)
(0, square, square)
square

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma base para o espaço solução da equação A x = 0 , onde A é uma matriz cujas colunas são os vetores V1, V2, V3 e V4 . Isso está no campo da Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaço nulo (ou núcleo) de uma matriz. Para resolver isso, vamos precisar fazer uma análise de dependência linear entre os vetores e encontrar combinações lineares que resultem no vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A com as colunas dadas:
A = 1 & 0 & 4 & 0 1 & 1 & -1 & 5 0 & 1 & -5 & 5
Nosso objetivo é encontrar todos os vetores x = (x1, x2, x3, x4) que satisfazem A x = 0 . Isso significa que:
1x1 + 0x2 + 4x3 + 0x4 = 0 1x1 + 1x2 - 1x3 + 5x4 = 0 0x1 + 1x2 - 5x3 + 5x4 = 0

Passo 3

Vamos simplificar o sistema de equações:
  1. Da primeira equação: x1 + 4x3 = 0 x1 = -4x3
  2. Da segunda equação: Substituindo x1 :
-4x3 + x2 - x3 + 5x4 = 0 x2 = 5x3 - 5x4
  1. Da terceira equação: Substituindo x2 :
5x3 - 5x4 - 5x3 + 5x4 = 0 0 = 0
Isso significa que a terceira equação não nos dá nova informação, e as variáveis livres serão x3 e x4 .

Passo 4

Vamos expressar todas as variáveis em termos das livres x3 e x4 :
x1 = -4x3 x2 = 5x3 - 5x4 x3 = x3 x4 = x4
Podemos escrever o vetor solução x como:
x = x3 -4 5 1 0 + x4 0 -5 0 1

Passo 5

Então, a base para o espaço solução A x = 0 é formada pelos vetores que multiplicam as variáveis livres x3 e x4 :
-4 5 1 0 , 0 -5 0 1

Resposta

Uma base para o espaço solução A x = 0 é:
(1, -1.25, 0)
(0, 1, -0.2)
]
]

Exercícios relacionados